Номер 1, страница 243 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Молекулярная физика - номер 1, страница 243.

Условие.

1. Определите полное число микросостояний при распределении шести частиц идеального газа по двум половинам сосуда, не разделённого перегородкой. Чему равно число способов реализации состояний $\langle 3 | 3 \rangle$, $\langle 2 | 4 \rangle$, $\langle 1 | 5 \rangle$?

Решение.

Дано:

Число частиц идеального газа, $N = 6$

Число половин сосуда, $M = 2$

Найти:

1. Полное число микросостояний, $\Omega_{полн}$

2. Число способов реализации состояний (статистический вес) $\Omega(3,3)$, $\Omega(2,4)$, $\Omega(1,5)$

Решение:

1. Определение полного числа микросостояний

Каждая из шести частиц может находиться либо в левой, либо в правой половине сосуда. Таким образом, для каждой частицы существует 2 возможных положения. Поскольку частицы идеального газа независимы, общее число различных комбинаций их расположения (микросостояний) равно произведению числа возможных положений для каждой частицы.

Полное число микросостояний $\Omega_{полн}$ для $N$ частиц, распределяемых по $M$ ячейкам (в данном случае $M=2$), вычисляется по формуле:

$\Omega_{полн} = M^N$

Подставляя наши значения, получаем:

$\Omega_{полн} = 2^6 = 64$

Ответ: Полное число микросостояний равно 64.

2. Определение числа способов реализации состояний

Число способов реализации макросостояния (статистический вес), при котором $n_1$ частиц находятся в первой половине сосуда, а $n_2$ – во второй ($n_1 + n_2 = N$), определяется числом сочетаний из $N$ по $n_1$ (или $n_2$):

$\Omega(n_1, n_2) = C_N^{n_1} = \frac{N!}{n_1!(N-n_1)!} = \frac{N!}{n_1!n_2!}$

Рассчитаем статистический вес для заданных состояний.

<3 | 3>

Для состояния, когда 3 частицы находятся в одной половине и 3 – в другой ($n_1=3, n_2=3$):

$\Omega(3, 3) = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Ответ: 20 способов.

<2 | 4>

Для состояния, когда 2 частицы находятся в одной половине и 4 – в другой ($n_1=2, n_2=4$):

$\Omega(2, 4) = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{5 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 15$

Ответ: 15 способов.

<1 | 5>

Для состояния, когда 1 частица находится в одной половине и 5 – в другой ($n_1=1, n_2=5$):

$\Omega(1, 5) = C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6}{1} = 6$

Ответ: 6 способов.