Номер 4, страница 243 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Молекулярная физика - номер 4, страница 243.

Условие.

4. Во сколько раз равномерное распределение десяти частиц $\langle 5 | 5 \rangle$ по двум половинам сосуда реализуется чаще, чем пребывание всех молекул в любой из двух половин сосуда?

Решение.

Дано:

Общее число частиц, $N = 10$.

Сосуд разделен на две равные половины.

Рассматриваются два макросостояния:

1. Равномерное распределение: 5 частиц в левой половине и 5 в правой ($<5|5>$).

2. Все частицы в одной из половин: 10 частиц в левой и 0 в правой ($<10|0>$) или 0 частиц в левой и 10 в правой ($<0|10>$).

Найти:

Отношение вероятностей (частот реализации) этих двух макросостояний, то есть во сколько раз первое состояние реализуется чаще второго.

Решение:

Вероятность реализации макросостояния пропорциональна его статистическому весу (термодинамической вероятности), который равен числу микросостояний, осуществляющих данное макросостояние.

1. Найдем статистический вес $W_1$ для равномерного распределения частиц ($<5|5>$). Это число способов выбрать 5 частиц из 10, которые будут находиться в одной (например, левой) половине сосуда. Оно рассчитывается по формуле числа сочетаний:

$W_1 = C_N^k = C_{10}^{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}$

$W_1 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$

Таким образом, существует 252 способа распределить частицы поровну между двумя половинами сосуда.

2. Теперь найдем статистический вес $W_2$ для состояния, когда все частицы находятся в одной из половин. Это состояние состоит из двух взаимоисключающих возможностей:

а) Все 10 частиц в левой половине ($<10|0>$). Число способов для этого: $C_{10}^{10} = 1$.

б) Все 10 частиц в правой половине ($<0|10>$). Число способов для этого: $C_{10}^{0} = 1$.

Общий статистический вес для этого макросостояния равен сумме статистических весов этих двух возможностей:

$W_2 = C_{10}^{10} + C_{10}^{0} = 1 + 1 = 2$

3. Найдем, во сколько раз равномерное распределение реализуется чаще. Для этого найдем отношение статистических весов:

$\frac{W_1}{W_2} = \frac{252}{2} = 126$

Ответ: Равномерное распределение десяти частиц по двум половинам сосуда реализуется в 126 раз чаще, чем пребывание всех частиц в одной из половин.