Номер 2, страница 243 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве. Задачи - номер 2, страница 243.

Условие.

2. Какой промежуток времени экспериментатор будет наблюдать равномерное распределение шести частиц по двум половинам сосуда, если опыт проводится в течение суток?

Решение.

Дано:

Число частиц, $N = 6$

Общее время эксперимента, $T = 1$ сутки

Перевод в систему СИ:

$T = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ ч} = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Промежуток времени, в течение которого наблюдается равномерное распределение, $t - ?$

Решение:

Задача решается с использованием методов статистической физики и теории вероятностей. Предполагается, что все микросостояния системы равновероятны.

1. Сначала определим общее число возможных способов распределения шести частиц по двум половинам сосуда. Каждая из 6 частиц может находиться либо в левой, либо в правой половине. Это означает, что для каждой частицы есть 2 возможных положения. Общее число микросостояний ($W_{общ}$) равно:

$W_{общ} = 2^N = 2^6 = 64$

2. Равномерное распределение означает, что в каждой из двух половин сосуда находится одинаковое количество частиц. При общем числе частиц $N=6$, это означает, что в каждой половине должно быть по $6/2 = 3$ частицы.

3. Теперь найдем число микросостояний, соответствующих такому равномерному распределению ($W_{равн}$). Это комбинаторная задача: нужно вычислить, сколькими способами можно выбрать 3 частицы из 6, чтобы поместить их в одну (например, левую) половину. Оставшиеся 3 частицы автоматически окажутся в правой половине. Число таких способов равно числу сочетаний из 6 по 3:

$W_{равн} = C_N^k = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

Итак, существует 20 микросостояний, соответствующих равномерному распределению.

4. Вероятность $P$ застать систему в состоянии равномерного распределения равна отношению числа благоприятных микросостояний к их общему числу:

$P = \frac{W_{равн}}{W_{общ}} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

5. Чтобы найти, какой промежуток времени $t$ система будет находиться в этом состоянии, нужно умножить общее время эксперимента $T$ на вычисленную вероятность $P$:

$t = T \times P = 1 \text{ сутки} \times \frac{5}{16} = \frac{5}{16} \text{ суток}$

Для удобства переведем результат в часы:

$t = 24 \text{ часа} \times \frac{5}{16} = \frac{24 \times 5}{16} \text{ часа} = \frac{120}{16} \text{ часа} = 7.5 \text{ часа}$

Ответ: Экспериментатор будет наблюдать равномерное распределение частиц в течение 7.5 часов.