Номер 3, страница 243 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве. Задачи - номер 3, страница 243.

Условие.

3. Какую часть времени десять частиц идеального газа будут распределены равномерно по двум половинам сосуда?

Решение.

Дано:

Количество частиц идеального газа, $N = 10$.

Сосуд разделен на две равные половины.

Найти:

Какую часть времени $w$ частицы будут распределены равномерно по двум половинам сосуда.

Решение:

Согласно основным положениям статистической физики, часть времени, в течение которой система находится в определенном макросостоянии, равна вероятности этого состояния. Вероятность, в свою очередь, определяется как отношение числа микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, к общему числу всех возможных микросостояний системы.

1. Найдем общее число всех возможных микросостояний ($W_{общ}$). Каждая из 10 частиц может находиться либо в левой, либо в правой половине сосуда. Таким образом, для каждой частицы есть 2 возможных положения. Поскольку частицы независимы, общее число комбинаций их расположения равно:

$W_{общ} = 2^N = 2^{10} = 1024$

2. Теперь найдем число микросостояний, соответствующих равномерному распределению ($W_{равн}$). Равномерное распределение для 10 частиц означает, что 5 частиц находятся в левой половине сосуда, а остальные 5 - в правой.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество способов, которыми можно выбрать 5 частиц из 10 для размещения в одной из половин (например, в левой). Это число равно числу сочетаний из $N=10$ по $k=5$.

Число таких микросостояний вычисляется по формуле биномиального коэффициента:

$W_{равн} = C_N^k = \binom{N}{k} = \frac{N!}{k!(N-k)!}$

Подставив наши значения $N=10$ и $k=5$, получим:

$W_{равн} = C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}$

Рассчитаем это значение:

$W_{равн} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{120} = 252$

Таким образом, существует 252 способа распределить частицы равномерно.

3. Искомая часть времени $w$ равна отношению числа "благоприятных" микросостояний к их общему числу:

$w = \frac{W_{равн}}{W_{общ}} = \frac{252}{1024}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4:

$w = \frac{252 \div 4}{1024 \div 4} = \frac{63}{256}$

Эта дробь является несократимой. В десятичном виде это примерно $0.246$, или $24.6\%$.

Ответ: Десять частиц идеального газа будут распределены равномерно по двум половинам сосуда $\frac{63}{256}$ часть времени.