Номер 5, страница 243 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве. Задачи - номер 5, страница 243.

Условие.

5. Найдите полное число микросостояний при распределении шести частиц по трём одинаковым частям сосуда, не разделённым перегородками. Какую часть времени шесть частиц будут равномерно распределены по объёму, т. е. реализуется микросостояние $ <2 | 2 | 2> $?

Решение.

Дано:

Число частиц, $N = 6$

Число одинаковых частей сосуда, $k = 3$

Макросостояние равномерного распределения: $n_1=2, n_2=2, n_3=2$

Найти:

1. Полное число микросостояний $\Omega_{total}$

2. Часть времени (вероятность) $P(<2|2|2>)$

Решение:

Полное число микросостояний

Каждая из $N=6$ частиц может независимо от других находиться в любой из $k=3$ частей сосуда. Таким образом, для каждой частицы существует 3 возможных положения. Общее число микросостояний $\Omega_{total}$ определяется как число всех возможных комбинаций расположения частиц. Оно вычисляется по формуле:

$\Omega_{total} = k^N$

Подставляем данные из условия задачи:

$\Omega_{total} = 3^6 = 729$

Ответ: Полное число микросостояний равно 729.

Часть времени, в течение которой шесть частиц будут равномерно распределены

Равномерное распределение частиц по объёму соответствует макросостоянию, при котором в каждой из трёх частей сосуда находится по две частицы ($n_1=2, n_2=2, n_3=2$).

Число микросостояний $\Omega(<2|2|2>)$, реализующих данное макросостояние, вычисляется по формуле для числа перестановок с повторениями (полиномиальный коэффициент):

$\Omega(n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{N!}{n_1! n_2! ... n_k!}$

Подставим значения:

$\Omega(<2|2|2>) = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90$

Часть времени, которую система проводит в данном макросостоянии, равна вероятности нахождения системы в этом состоянии. Она определяется как отношение числа микросостояний, соответствующих этому макросостоянию, к полному числу микросостояний:

$P(<2|2|2>) = \frac{\Omega(<2|2|2>)}{\Omega_{total}} = \frac{90}{729}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:

$P(<2|2|2>) = \frac{10}{81}$

Ответ: Часть времени, в течение которой шесть частиц будут равномерно распределены, составляет $10/81$.