Номер 2, страница 247 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 50. Распределение молекул идеального газа по скоростям. Задачи - номер 2, страница 247.

Условие.

2. Угол между прорезями во вращающихся дисках в опыте (см. рис. 200) составляет 90°. Прорезь образует угол 2°. Средняя скорость частиц, попадающих в вакуумную камеру, 450 м/с. В каком интервале скоростей детектор фиксирует частицы?

Принципиальная схема опыта для определения скорости молекул газа или пара

Решение.

Дано:

Угол между прорезями, $\alpha = 90^\circ$

Угловая ширина прорези, $\Delta\alpha = 2^\circ$

Средняя скорость частиц, $v_{ср} = 450 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ (радианы):

$\alpha = 90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

$\Delta\alpha = 2^\circ = 2 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \text{ рад}$

Найти:

Интервал скоростей $[v_{min}, v_{max}]$, в котором детектор фиксирует частицы.

Решение:

Частица, летящая со скоростью $v$, проходит расстояние $l$ между дисками за время $t = \frac{l}{v}$.

За это время диски, вращающиеся с угловой скоростью $\omega$, повернутся на угол $\Delta\phi = \omega t = \frac{\omega l}{v}$.

Для частиц со средней скоростью $v_{ср}$ угол поворота дисков должен быть в точности равен углу между прорезями $\alpha$. Это позволяет связать параметры установки:

$\Delta\phi_{ср} = \frac{\omega l}{v_{ср}} = \alpha$

Отсюда можно выразить произведение $\omega l$, которое является константой для данной установки и данного режима работы:

$\omega l = \alpha v_{ср} = \frac{\pi}{2} \cdot 450 = 225\pi \text{ (рад}\cdot\text{м)/с}$

Детектор будет фиксировать частицы, если за время их полета $t$ второй диск повернется на такой угол $\Delta\phi$, что частица сможет пройти через вторую прорезь. Учитывая, что и первая, и вторая прорези имеют конечную угловую ширину $\Delta\alpha$, существует некоторый диапазон допустимых углов поворота. Частица сможет пройти, если угол поворота $\Delta\phi$ будет находиться в пределах от $\alpha - \Delta\alpha$ до $\alpha + \Delta\alpha$. Таким образом, условие прохождения частицы через систему имеет вид:

$\alpha - \Delta\alpha \le \Delta\phi \le \alpha + \Delta\alpha$

Подставим выражение для $\Delta\phi$:

$\alpha - \Delta\alpha \le \frac{\omega l}{v} \le \alpha + \Delta\alpha$

Из этого двойного неравенства можно найти минимальную и максимальную скорости частиц, которые будут зафиксированы детектором.

Минимальная скорость $v_{min}$ соответствует максимальному времени полета и, следовательно, максимальному углу поворота:

$\frac{\omega l}{v_{min}} = \alpha + \Delta\alpha$

$v_{min} = \frac{\omega l}{\alpha + \Delta\alpha}$

Максимальная скорость $v_{max}$ соответствует минимальному времени полета и минимальному углу поворота:

$\frac{\omega l}{v_{max}} = \alpha - \Delta\alpha$

$v_{max} = \frac{\omega l}{\alpha - \Delta\alpha}$

Подставим числовые значения в радианах:

$v_{min} = \frac{225\pi}{\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{90}} = \frac{225\pi}{\pi(\frac{1}{2} + \frac{1}{90})} = \frac{225}{\frac{45+1}{90}} = \frac{225 \cdot 90}{46} = \frac{10125}{23} \approx 440.2 \text{ м/с}$

$v_{max} = \frac{225\pi}{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{90}} = \frac{225\pi}{\pi(\frac{1}{2} - \frac{1}{90})} = \frac{225}{\frac{45-1}{90}} = \frac{225 \cdot 90}{44} = \frac{10125}{22} \approx 460.2 \text{ м/с}$

Таким образом, детектор будет фиксировать частицы, скорости которых лежат в интервале примерно от 440 м/с до 460 м/с.

Ответ: Детектор фиксирует частицы в интервале скоростей от $v_{min} \approx 440 \text{ м/с}$ до $v_{max} \approx 460 \text{ м/с}$.