Номер 4, страница 247 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 50. Распределение молекул идеального газа по скоростям. Задачи - номер 4, страница 247.

Условие.

4. Докажите, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров (один из которых первоначально покоился) угол между их скоростями составляет 90°.

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы шаров одинаковы)

$\vec{v}_2 = 0$ (второй шар первоначально покоился)

Удар является абсолютно упругим.

Удар является нецентральным.

Найти:

Доказать, что угол $\theta$ между скоростями шаров $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ после удара равен $90^\circ$.

Решение:

Для решения задачи используем два фундаментальных закона сохранения, которые выполняются при абсолютно упругом ударе в замкнутой системе: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса
Полный импульс системы до столкновения равен полному импульсу системы после столкновения. В векторной форме это записывается так:

$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2$

где $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ — скорости шаров до удара, а $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ — скорости шаров после удара.

Подставим в это уравнение условия задачи: $m_1 = m_2 = m$ и $\vec{v}_2 = 0$.

$m \vec{v}_1 + m \cdot 0 = m \vec{u}_1 + m \vec{u}_2$

Сократив массу $m$, получаем:

$\vec{v}_1 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии
Полная кинетическая энергия системы при абсолютно упругом ударе сохраняется:

$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2$

Подставляем условия задачи ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = |\vec{v}_2| = 0$):

$\frac{1}{2} m v_1^2 + 0 = \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2$

Умножив обе части на $\frac{2}{m}$, получаем скалярное уравнение:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

3. Математическое доказательство
Теперь объединим полученные результаты. Уравнение (1) является векторным, а (2) — скалярным. Возведём обе части векторного уравнения (1) в квадрат скалярно (то есть умножим скалярно каждую часть на саму себя):

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{u}_1 + \vec{u}_2) \cdot (\vec{u}_1 + \vec{u}_2)$

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$. Раскроем правую часть по правилу умножения многочленов:

$v_1^2 = \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 + \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 + \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_1 + \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_1$), получаем:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$ (3)

Теперь приравняем правые части уравнений (2) и (3), так как левые части у них одинаковы ($v_1^2$):

$u_1^2 + u_2^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$

Вычтем из обеих частей $u_1^2 + u_2^2$:

$0 = 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$

Отсюда следует, что скалярное произведение векторов конечных скоростей равно нулю:

$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$

Скалярное произведение двух векторов определяется как $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = u_1 u_2 \cos\theta$, где $\theta$ — угол между ними. Поскольку удар нецентральный, оба шара после столкновения движутся, то есть $u_1 \ne 0$ и $u_2 \ne 0$. Следовательно, для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы $\cos\theta = 0$. Это условие выполняется при $\theta = 90^\circ$.

Таким образом, доказано, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров, один из которых покоился, угол между их скоростями составляет $90^\circ$.

Ответ: Угол между скоростями шаров после абсолютно упругого нецентрального удара составляет $90^\circ$, что и требовалось доказать.