Номер 4, страница 247 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Авторы: Касьянов В. А.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: белый самолет и молнии изображены
ISBN: 978-5-09-103621-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Задачи. Параграф 50. Распределение молекул идеального газа по скоростям. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Молекулярная физика - номер 4, страница 247.
№4 (с. 247)
Условие. №4 (с. 247)
скриншот условия

4. Докажите, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров (один из которых первоначально покоился) угол между их скоростями составляет 90°.
Решение. №4 (с. 247)
Дано:
$m_1 = m_2 = m$ (массы шаров одинаковы)
$\vec{v}_2 = 0$ (второй шар первоначально покоился)
Удар является абсолютно упругим.
Удар является нецентральным.
Найти:
Доказать, что угол $\theta$ между скоростями шаров $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ после удара равен $90^\circ$.
Решение:
Для решения задачи используем два фундаментальных закона сохранения, которые выполняются при абсолютно упругом ударе в замкнутой системе: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
1. Закон сохранения импульса
Полный импульс системы до столкновения равен полному импульсу системы после столкновения. В векторной форме это записывается так:
$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2$
где $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ — скорости шаров до удара, а $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ — скорости шаров после удара.
Подставим в это уравнение условия задачи: $m_1 = m_2 = m$ и $\vec{v}_2 = 0$.
$m \vec{v}_1 + m \cdot 0 = m \vec{u}_1 + m \vec{u}_2$
Сократив массу $m$, получаем:
$\vec{v}_1 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$ (1)
2. Закон сохранения кинетической энергии
Полная кинетическая энергия системы при абсолютно упругом ударе сохраняется:
$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2$
Подставляем условия задачи ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = |\vec{v}_2| = 0$):
$\frac{1}{2} m v_1^2 + 0 = \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2$
Умножив обе части на $\frac{2}{m}$, получаем скалярное уравнение:
$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)
3. Математическое доказательство
Теперь объединим полученные результаты. Уравнение (1) является векторным, а (2) — скалярным. Возведём обе части векторного уравнения (1) в квадрат скалярно (то есть умножим скалярно каждую часть на саму себя):
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{u}_1 + \vec{u}_2) \cdot (\vec{u}_1 + \vec{u}_2)$
По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$. Раскроем правую часть по правилу умножения многочленов:
$v_1^2 = \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 + \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 + \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_1 + \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2$
Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = \vec{u}_2 \cdot \vec{u}_1$), получаем:
$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$ (3)
Теперь приравняем правые части уравнений (2) и (3), так как левые части у них одинаковы ($v_1^2$):
$u_1^2 + u_2^2 = u_1^2 + u_2^2 + 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$
Вычтем из обеих частей $u_1^2 + u_2^2$:
$0 = 2 (\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2)$
Отсюда следует, что скалярное произведение векторов конечных скоростей равно нулю:
$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$
Скалярное произведение двух векторов определяется как $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = u_1 u_2 \cos\theta$, где $\theta$ — угол между ними. Поскольку удар нецентральный, оба шара после столкновения движутся, то есть $u_1 \ne 0$ и $u_2 \ne 0$. Следовательно, для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы $\cos\theta = 0$. Это условие выполняется при $\theta = 90^\circ$.
Таким образом, доказано, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров, один из которых покоился, угол между их скоростями составляет $90^\circ$.
Ответ: Угол между скоростями шаров после абсолютно упругого нецентрального удара составляет $90^\circ$, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 247 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №4 (с. 247), автора: Касьянов (Валерий Алексеевич), ФГОС (старый) углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.