Номер 5, страница 283 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 58. Адиабатный процесс. Задачи - номер 5, страница 283.

Условие.

5. Молекулярный кислород занимает объём $V_1 = 2 \text{ м}^3$ при нормальных условиях. При сжатии газа без теплообмена с окружающей средой совершается работа $A = 50,5 \text{ кДж}$. Чему равна конечная температура кислорода?

Решение.

Дано:

$V_1 = 2$ м³
$A = 50,5$ кДж = $50,5 \cdot 10^3$ Дж
Нормальные условия: $T_1 = 273,15$ К, $P_1 = 101325$ Па
Газ - молекулярный кислород ($O_2$), двухатомный, число степеней свободы $i=5$

Найти:

$T_2$ - ?

Решение:

Процесс сжатия газа происходит без теплообмена с окружающей средой, что означает, что процесс является адиабатическим. Для адиабатического процесса количество теплоты, которым обменивается система с окружающей средой, равно нулю: $Q=0$.

Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии системы ($\Delta U$) равно сумме работы, совершённой над системой ($A'$), и количества теплоты, переданного системе ($Q$):
$\Delta U = A' + Q$

В условии задачи сказано, что при сжатии совершается работа $A = 50,5$ кДж. Эта работа совершается внешними силами над газом, поэтому работа, совершённая над системой, $A' = A$. Так как $Q = 0$, первый закон термодинамики для данного процесса принимает вид:
$\Delta U = A$

Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле:
$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R (T_2 - T_1)$
Здесь $i$ – число степеней свободы молекул газа, $\nu$ – количество вещества газа, $R$ – универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)), $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная абсолютные температуры газа.

Молекула кислорода ($O_2$) является двухатомной, поэтому для неё число степеней свободы $i=5$.

Количество вещества $\nu$ можно определить из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для начального состояния:
$P_1 V_1 = \nu R T_1$
Из этого уравнения можно выразить произведение $\nu R$:
$\nu R = \frac{P_1 V_1}{T_1}$

Подставим это выражение в формулу для изменения внутренней энергии:
$\Delta U = \frac{i}{2} \frac{P_1 V_1}{T_1} (T_2 - T_1)$

Теперь приравняем полученное выражение для изменения внутренней энергии к работе $A$, совершенной над газом:
$A = \frac{i}{2} \frac{P_1 V_1}{T_1} (T_2 - T_1)$

Из этого уравнения выразим конечную температуру $T_2$:
$T_2 - T_1 = \frac{2 A T_1}{i P_1 V_1}$
$T_2 = T_1 + \frac{2 A T_1}{i P_1 V_1} = T_1 \left( 1 + \frac{2 A}{i P_1 V_1} \right)$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:
$T_2 = 273,15 \text{ К} \cdot \left( 1 + \frac{2 \cdot 50,5 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{5 \cdot 101325 \text{ Па} \cdot 2 \text{ м³}} \right)$
$T_2 = 273,15 \cdot \left( 1 + \frac{101000}{1013250} \right)$
$T_2 = 273,15 \cdot (1 + 0,099679...) \approx 273,15 \cdot 1,099679 \approx 300,38$ К

Ответ: $T_2 \approx 300,4$ К.