Номер 1, страница 288 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 59. Тепловые двигатели. Задачи - номер 1, страница 288.

Условие.

1. Кислород совершает замкнутый цикл, изображённый на $p-V$-диаграмме (рис. 233). Найдите графически и рассчитайте работу, совершённую газом в каждом изопроцессе и в результате цикла. На каких участках к газу подводится количество теплоты? Чему равно количество теплоты, полученное газом от нагревателя? Определите КПД цикла.

Решение.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4-1 для кислорода (двухатомный газ).

Параметры в точках:

Точка 1: $p_1$, $V_1$

Точка 2: $2p_1$, $V_1$

Точка 3: $2p_1$, $2V_1$

Точка 4: $p_1$, $2V_1$

Найти:

$A_{12}, A_{23}, A_{34}, A_{41}$ - работа на каждом участке;

$A_{цикла}$ - работа за цикл;

Участки, на которых подводится теплота;

$Q_{нагр}$ - количество теплоты, полученное от нагревателя;

$\eta$ - КПД цикла.

Решение:

Найдите графически и рассчитайте работу, совершённую газом в каждом изопроцессе и в результате цикла.

Работа, совершаемая газом, численно равна площади под графиком процесса в координатах $p-V$. Если объем увеличивается, работа положительна; если уменьшается — отрицательна; если не меняется — равна нулю.

1. Участок 1-2: Изохорный процесс ($V=const$). Объем не меняется, следовательно, работа газа равна нулю.

$A_{12} = 0$

2. Участок 2-3: Изобарный процесс ($p=const$). Газ расширяется. Работа равна площади прямоугольника под отрезком 2-3.

$A_{23} = p_2 (V_3 - V_2) = 2p_1 (2V_1 - V_1) = 2p_1 V_1$

3. Участок 3-4: Изохорный процесс ($V=const$). Объем не меняется, работа газа равна нулю.

$A_{34} = 0$

4. Участок 4-1: Изобарный процесс ($p=const$). Газ сжимается. Работа газа отрицательна и равна площади прямоугольника под отрезком 4-1 со знаком минус.

$A_{41} = p_1 (V_1 - V_4) = p_1 (V_1 - 2V_1) = -p_1 V_1$

Работа за весь цикл равна сумме работ на всех участках. Графически она равна площади фигуры, ограниченной циклом (в данном случае, площади прямоугольника 1-2-3-4). Так как цикл идет по часовой стрелке, работа положительна.

$A_{цикла} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = 0 + 2p_1 V_1 + 0 - p_1 V_1 = p_1 V_1$

Графически: $A_{цикла} = (2p_1 - p_1)(2V_1 - V_1) = p_1 V_1$

Ответ: Работа на участках: $A_{12} = 0$, $A_{23} = 2p_1 V_1$, $A_{34} = 0$, $A_{41} = -p_1 V_1$. Работа за цикл: $A_{цикла} = p_1 V_1$.

На каких участках к газу подводится количество теплоты?

Количество теплоты $Q$, подведенное к газу, определяется по первому закону термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа газа. Для идеального газа $\Delta U$ пропорционально изменению температуры. Газ получает теплоту ($Q>0$), когда его температура или объем (при постоянном давлении) увеличиваются.

1. Участок 1-2: Изохорное нагревание. $V=const$, $p$ растет. Согласно закону Шарля, температура $T$ растет. $A_{12} = 0$. Так как температура растет, $\Delta U_{12} > 0$. Следовательно, $Q_{12} = \Delta U_{12} > 0$. К газу подводится теплота.

2. Участок 2-3: Изобарное расширение. $p=const$, $V$ растет. Согласно закону Гей-Люссака, температура $T$ растет. $A_{23} > 0$ и $\Delta U_{23} > 0$. Следовательно, $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} > 0$. К газу подводится теплота.

3. Участок 3-4: Изохорное охлаждение. $V=const$, $p$ падает. Температура $T$ падает. $A_{34} = 0$, $\Delta U_{34} < 0$. Следовательно, $Q_{34} = \Delta U_{34} < 0$. Газ отдает теплоту.

4. Участок 4-1: Изобарное сжатие. $p=const$, $V$ уменьшается. Температура $T$ падает. $A_{41} < 0$, $\Delta U_{41} < 0$. Следовательно, $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} < 0$. Газ отдает теплоту.

Ответ: Количество теплоты подводится к газу на участках 1-2 и 2-3.

Чему равно количество теплоты, полученное газом от нагревателя?

Количество теплоты, полученное от нагревателя ($Q_{нагр}$), — это сумма всей подведенной к газу теплоты за цикл. Это происходит на участках 1-2 и 2-3.

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23}$

Кислород — двухатомный газ, поэтому число степеней свободы $i=5$. Изменение внутренней энергии: $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \Delta(pV)$.

Для участка 1-2 ($V_1=const$):

$A_{12} = 0$

$\Delta U_{12} = \frac{5}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{5}{2}(2p_1 V_1 - p_1 V_1) = \frac{5}{2} p_1 V_1$

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{5}{2} p_1 V_1$

Для участка 2-3 ($p_2=const$):

$A_{23} = 2p_1 V_1$

$\Delta U_{23} = \frac{5}{2}(p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{5}{2}(2p_1 \cdot 2V_1 - 2p_1 V_1) = \frac{5}{2}(2p_1 V_1) = 5 p_1 V_1$

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 5 p_1 V_1 + 2 p_1 V_1 = 7 p_1 V_1$

Суммарное количество теплоты от нагревателя:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{5}{2} p_1 V_1 + 7 p_1 V_1 = (\frac{5}{2} + \frac{14}{2})p_1 V_1 = \frac{19}{2} p_1 V_1 = 9.5 p_1 V_1$

Ответ: $Q_{нагр} = 9.5 p_1 V_1$.

Определите КПД цикла.

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы за цикл к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

Мы уже нашли, что $A_{цикла} = p_1 V_1$ и $Q_{нагр} = \frac{19}{2} p_1 V_1$.

$\eta = \frac{p_1 V_1}{\frac{19}{2} p_1 V_1} = \frac{1}{19/2} = \frac{2}{19}$

В процентах: $\eta = \frac{2}{19} \cdot 100\% \approx 10.5\%$

Ответ: $\eta = \frac{2}{19} \approx 10.5\%$.