Номер 5, страница 355 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 75. Высота звука. Эффект Доплера. Задачи - номер 5, страница 355.

Условие.

5. Электромагнитная волна, излучаемая радаром дорожно-патрульной службы в направлении приближающегося автомобиля, имеет частоту $v_0 = 3$ ГГц. Частота сигнала, отражённого от автомобиля, отличается от $v_0$ на 400 Гц. Рассчитайте скорость автомобиля.

Решение.

Дано:

Частота излучаемой волны $v_0 = 3$ ГГц

Изменение частоты $\Delta v = 400$ Гц

Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$v_0 = 3 \text{ ГГц} = 3 \cdot 10^9 \text{ Гц}$

Найти:

Скорость автомобиля $v$

Решение:

Для определения скорости автомобиля используется эффект Доплера. Сигнал, излучаемый радаром, отражается от движущегося автомобиля и возвращается обратно. При этом происходит двойное изменение частоты.

1. Сначала автомобиль является движущимся приемником, который приближается к стационарному источнику (радару). Частота $v_1$, которую воспринимает автомобиль, рассчитывается по формуле:

$v_1 = v_0 \frac{c+v}{c}$

где $v_0$ — исходная частота сигнала, $v$ — скорость автомобиля, $c$ — скорость света.

2. Затем автомобиль сам становится движущимся источником, который отражает (переизлучает) волну с частотой $v_1$ в сторону стационарного приемника (радара). Частота $v_2$, которую зарегистрирует радар, определяется по формуле:

$v_2 = v_1 \frac{c}{c-v}$

3. Объединим эти две формулы, подставив выражение для $v_1$ во вторую формулу:

$v_2 = \left( v_0 \frac{c+v}{c} \right) \frac{c}{c-v} = v_0 \frac{c+v}{c-v}$

4. Изменение частоты (доплеровский сдвиг) $\Delta v$ равно разности между принятой и излученной частотами. Так как автомобиль приближается, частота увеличивается, поэтому $\Delta v = v_2 - v_0$.

$\Delta v = v_0 \frac{c+v}{c-v} - v_0 = v_0 \left( \frac{c+v}{c-v} - 1 \right) = v_0 \frac{c+v - (c-v)}{c-v} = v_0 \frac{2v}{c-v}$

5. Поскольку скорость автомобиля $v$ значительно меньше скорости света $c$ ($v \ll c$), можно пренебречь скоростью $v$ в знаменателе, то есть принять $c-v \approx c$. Формула упрощается:

$\Delta v \approx \frac{2v v_0}{c}$

6. Выразим из этого соотношения скорость автомобиля $v$:

$v \approx \frac{\Delta v \cdot c}{2v_0}$

7. Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$v \approx \frac{400 \text{ Гц} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 3 \cdot 10^9 \text{ Гц}} = \frac{1200 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^9} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 200 \cdot 10^{-1} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость автомобиля равна 20 м/с.