Номер 2, страница 412 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Параграф 90. Электроёмкость уединённого проводника. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 2, страница 412.

Условие.

2. Почему давление жидкости в гидростатике аналогично потенциалу в электростатике?

Решение.

Давление жидкости в гидростатике аналогично потенциалу в электростатике из-за фундаментального математического сходства в описании этих явлений. Оба, давление и потенциал, являются скалярными полями, градиенты которых определяют векторные поля сил, действующие в системе.

1. Скалярная природа и градиент

И давление $p$, и электрический потенциал $\phi$ являются скалярными полями. Это означает, что в каждой точке пространства им соответствует определенное числовое значение, а не вектор. Однако пространственное изменение этих величин описывается вектором градиента ($\nabla p$ и $\nabla \phi$), который в каждой точке направлен в сторону наибыстрейшего возрастания скалярной величины. Именно градиент связывает скалярное поле с физическими силами.

Ответ: Давление и потенциал — это скалярные поля, чьи градиенты ($\nabla p$ и $\nabla \phi$) представляют собой векторные поля, характеризующие пространственное изменение этих величин.

2. Связь с силой

Это ключевой аспект аналогии. Векторное поле силы в обоих случаях определяется как отрицательный градиент скалярного поля.

• В электростатике напряженность электрического поля $\vec{E}$ (сила, действующая на единичный положительный заряд) связана с потенциалом $\phi$ соотношением: $\vec{E} = -\nabla \phi$. Сила, действующая на заряд $q$, равна $\vec{F} = q\vec{E} = -q\nabla \phi$. Сила направлена в сторону уменьшения потенциала.
• В гидростатике сила, действующая на единицу объема жидкости со стороны окружающих слоев (так называемая сила давления), равна: $\vec{f} = -\nabla p$. Эта сила направлена из области высокого давления в область низкого давления.

Таким образом, математическая структура, связывающая скалярное поле (давление/потенциал) и векторное поле (сила), идентична.

Ответ: Аналогия заключается в том, что сила, действующая на единицу объема жидкости ($\vec{f} = -\nabla p$), и сила, действующая на единицу заряда ($\vec{E} = -\nabla \phi$), обе определяются как отрицательный градиент соответствующего скалярного поля.

3. Энергетическая аналогия

Обе величины имеют энергетический смысл.

• Электрический потенциал $\phi$ по определению есть потенциальная энергия, приходящаяся на единицу заряда ($W_p/q$).
• Давление $p$ имеет размерность энергии на единицу объема ($Па = Н/м^2 = Дж/м^3$). Оно представляет собой плотность потенциальной энергии, связанной со сжатием жидкости.

Разность потенциалов $\Delta \phi$ определяет работу по перемещению единичного заряда, а разность давлений $\Delta p$ определяет работу, совершаемую силами давления при перемещении единичного объема жидкости.

Ответ: Давление можно рассматривать как плотность потенциальной энергии (энергия на единицу объема), в то время как электрический потенциал — это потенциальная энергия на единицу заряда.

4. Условие равновесия

Аналогия прослеживается и в условиях равновесия системы.

• В электростатике, внутри проводника в состоянии равновесия, электрическое поле равно нулю ($\vec{E}=0$), что означает постоянство потенциала ($\nabla \phi = 0$).
• В гидростатике жидкость находится в равновесии, когда действующая на любой ее элемент сила давления уравновешивается внешними массовыми силами (например, силой тяжести). Условие равновесия жидкости в поле тяжести имеет вид: $-\nabla p + \rho \vec{g} = 0$, или $\nabla p = \rho \vec{g}$, где $\rho$ – плотность жидкости, а $\vec{g}$ – ускорение свободного падения. То есть градиент давления не равен нулю, а компенсирует другую силу.

Ответ: В обоих случаях условие равновесия достигается, когда силы, связанные с градиентом скалярного поля, либо отсутствуют ($\nabla \phi = 0$), либо уравновешены другими силами ($\nabla p = \rho \vec{g}$).