Номер 4, страница 412 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Электростатика. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Параграф 90. Электроёмкость уединённого проводника - номер 4, страница 412.

Условие.

4. Почему электроёмкость сферы не зависит от заряда на её поверхности?

Решение.

Решение

Электроёмкость уединённого проводника по определению — это физическая величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

$C = \frac{q}{\varphi}$

где $C$ — электроёмкость, $q$ — заряд проводника, $\varphi$ — потенциал проводника.

Рассмотрим уединённую проводящую сферу радиусом $R$, которой сообщили заряд $q$. Сфера находится в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Потенциал на поверхности такой сферы определяется по формуле:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{R}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Чтобы найти электроёмкость сферы, подставим выражение для её потенциала $\varphi$ в определяющую формулу для электроёмкости $C$:

$C = \frac{q}{\varphi} = \frac{q}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{R}}$

После упрощения выражения заряд $q$ в числителе и знаменателе сокращается:

$C = q \cdot \frac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R}{q} = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$

Из полученной формулы $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$ видно, что электроёмкость сферы зависит только от её геометрических размеров (радиуса $R$) и диэлектрических свойств окружающей среды ($\varepsilon$). Величина заряда $q$ в итоговую формулу не входит.

Электроёмкость является мерой способности проводника накапливать заряд и представляет собой коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом. Если увеличить заряд на сфере в несколько раз, её потенциал увеличится во столько же раз, но их отношение, то есть электроёмкость, останется неизменным. Таким образом, электроёмкость — это характеристика самого проводника, его формы и размеров, а также среды, в которой он находится, но не его заряда.

Ответ: Электроёмкость сферы не зависит от заряда на её поверхности, так как по определению ёмкость является коэффициентом пропорциональности между зарядом и потенциалом. При выводе формулы для ёмкости сферы ($C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$) заряд сокращается. Это показывает, что ёмкость определяется исключительно геометрическими параметрами проводника (в данном случае радиусом сферы $R$) и диэлектрическими свойствами окружающей среды ($\varepsilon$), а не величиной заряда на его поверхности.