Номер 10, страница 464 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

9. Измерение электроёмкости конденсатора. Лабораторные работы - номер 10, страница 464.

Условие.

10. Вычислите относительную погрешность косвенного измерения электроёмкости:

$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta d}{d}$.

Решение.

Данная задача требует не численного расчёта, а вывода (обоснования) формулы для относительной погрешности косвенного измерения электроёмкости, которая приведена в условии.

Дано:

Формула для расчёта ёмкости плоского конденсатора: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$.

Площадь прямоугольных пластин: $S = a \cdot b$.

Прямо измеряемые величины: стороны пластин $a$ и $b$, расстояние между пластинами $d$.

Абсолютные погрешности прямых измерений: $\Delta a, \Delta b, \Delta d$.

Величины $\varepsilon$ (относительная диэлектрическая проницаемость) и $\varepsilon_0$ (электрическая постоянная) считаются точными константами.

Найти:

Формулу для относительной погрешности косвенного измерения электроёмкости $\frac{\Delta C}{C}$.

Решение:

Общий принцип расчёта погрешности косвенных измерений для функции, представляющей собой произведение и частное нескольких переменных, заключается в сложении их относительных погрешностей. Если величина $Y$ вычисляется по формуле $Y = k \cdot x_1^{p_1} \cdot x_2^{p_2} \cdot \dots$, где $k$ – точный коэффициент, то её максимальная относительная погрешность $\frac{\Delta Y}{Y}$ равна:

$\frac{\Delta Y}{Y} = |p_1| \frac{\Delta x_1}{x_1} + |p_2| \frac{\Delta x_2}{x_2} + \dots$

1. Найдём относительную погрешность ёмкости $C$. Формулу ёмкости можно представить в виде степенной функции:

$C = (\varepsilon \varepsilon_0) \cdot S^1 \cdot d^{-1}$

Применяя общее правило, и считая коэффициент $\varepsilon \varepsilon_0$ точным, получаем:

$\frac{\Delta C}{C} = |1| \frac{\Delta S}{S} + |-1| \frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta d}{d}$

Это выражение для относительной погрешности ёмкости через относительные погрешности площади и расстояния. Оно соответствует первой части равенства в условии задачи.

2. Теперь найдём относительную погрешность площади $S$. Площадь прямоугольных пластин со сторонами $a$ и $b$ вычисляется как $S = a \cdot b$. В степенном виде это $S = a^1 \cdot b^1$.

Относительная погрешность площади $\frac{\Delta S}{S}$ будет равна сумме относительных погрешностей измерения её сторон:

$\frac{\Delta S}{S} = |1| \frac{\Delta a}{a} + |1| \frac{\Delta b}{b} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}$

3. Подставим полученное выражение для $\frac{\Delta S}{S}$ в формулу для относительной погрешности ёмкости $\frac{\Delta C}{C}$:

$\frac{\Delta C}{C} = \left( \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} \right) + \frac{\Delta d}{d}$

Убирая скобки, получаем итоговую формулу, которая полностью совпадает с приведённой в задаче:

$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta d}{d}$

Таким образом, для вычисления относительной погрешности ёмкости необходимо сложить относительные погрешности всех величин, которые измерялись напрямую для её расчёта.

Ответ:

Относительная погрешность косвенного измерения электроёмкости $\frac{\Delta C}{C}$ выражается через относительные погрешности прямых измерений линейных размеров $a, b, d$ по формуле:

$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta d}{d}$