Вариант 4, страница 140 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-13. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 140.

Условие.

Вариант 4

I

1. Между пластинами плоского конденсатора по всей площади положили слюду. Как изменилась электроемкость конденсатора? Диэлектрическая проницаемость слюды равна 6.

2. В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью 800 мкФ, заряженного до напряжения 300 В. Найдите энергию вспышки.

II

3. Заряженный до потенциала 1000 В шар радиусом 20 см соединяется с незаряженным шаром длинным проводником. После этого соединения потенциал шаров оказался равным 300 В. Каков радиус второго шара?

4. Металлический шар радиусом 30 см, заряженный до потенциала 40 В, окружили незаряженной концентрической сферической проводящей оболочкой радиусом 50 см. Определите потенциал шара после его соединения с оболочкой проводником.

III

5. Потенциал одной маленькой заряженной сферической капли ртути равен 0,01 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния 125 таких капель.

6. Маленький шарик подвешен на диэлектрической пружине в пространстве плоского конденсатора, пластины которого — круги радиусом 10 см — расположены горизонтально. Заряд шарика равен $ -3 \, \text{нКл} $. Когда пластинам конденсатора сообщили заряд $ 2 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл} $, растяжение пружины увеличилось вдвое. Определите массу шарика.

Решение.

1. Электроемкость плоского конденсатора без диэлектрика определяется формулой: $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

Когда между пластинами помещают диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, полностью заполняющий пространство, электроемкость становится равной: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$.

Таким образом, отношение новой емкости к старой равно: $\frac{C}{C_0} = \frac{\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \varepsilon$.

Поскольку диэлектрическая проницаемость слюды $\varepsilon = 6$, электроемкость конденсатора увеличилась в 6 раз.

Ответ: Электроемкость конденсатора увеличилась в 6 раз.

2. Дано:

$C = 800$ мкФ $= 800 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 8 \cdot 10^{-4}$ Ф

$U = 300$ В

Найти:

$\text{W}$ - ?

Решение:

Энергия вспышки равна энергии, запасенной в конденсаторе. Энергия заряженного конденсатора вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$W = \frac{(8 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}) \cdot (300 \text{ В})^2}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^4}{2} = \frac{72}{2} = 36$ Дж.

Ответ: 36 Дж.

3. Дано:

$\varphi_1 = 1000$ В

$R_1 = 20$ см $= 0.2$ м

$\varphi' = 300$ В

Найти:

$R_2$ - ?

Решение:

Емкость уединенного шара радиусом $\text{R}$ определяется как $C = 4\pi\varepsilon_0 R$.

Начальный заряд первого шара: $q_1 = C_1 \varphi_1 = 4\pi\varepsilon_0 R_1 \varphi_1$.

Второй шар был не заряжен, его начальный заряд $q_2 = 0$.

После соединения шаров проводником их общий заряд $Q = q_1 + q_2 = q_1$ перераспределяется, и их потенциалы становятся одинаковыми и равными $\varphi'$.

Общая емкость системы из двух соединенных шаров $C_{общ} = C_1 + C_2 = 4\pi\varepsilon_0 (R_1 + R_2)$.

Потенциал после соединения: $\varphi' = \frac{Q}{C_{общ}} = \frac{q_1}{C_1 + C_2}$.

Подставим выражения для заряда и емкостей:

$\varphi' = \frac{4\pi\varepsilon_0 R_1 \varphi_1}{4\pi\varepsilon_0 (R_1 + R_2)} = \frac{R_1 \varphi_1}{R_1 + R_2}$

Выразим из этой формулы $R_2$:

$\varphi'(R_1 + R_2) = R_1 \varphi_1$

$\varphi' R_1 + \varphi' R_2 = R_1 \varphi_1$

$\varphi' R_2 = R_1 \varphi_1 - \varphi' R_1 = R_1 (\varphi_1 - \varphi')$

$R_2 = R_1 \frac{\varphi_1 - \varphi'}{\varphi'}$

Подставим числовые значения:

$R_2 = 0.2 \text{ м} \cdot \frac{1000 \text{ В} - 300 \text{ В}}{300 \text{ В}} = 0.2 \cdot \frac{700}{300} = 0.2 \cdot \frac{7}{3} \approx 0.467$ м.

Ответ: 0.467 м или 46.7 см.

4. Дано:

$R_1 = 30$ см $= 0.3$ м

$\varphi_1 = 40$ В

$R_2 = 50$ см $= 0.5$ м

Найти:

$\varphi'$ - ?

Решение:

Начальный заряд внутреннего шара можно найти из формулы потенциала уединенного шара $\varphi_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1}{R_1}$. Отсюда $q_1 = 4\pi\varepsilon_0 R_1 \varphi_1$.

Оболочка была не заряжена, ее заряд $q_2 = 0$. Общий заряд системы $Q = q_1 + q_2 = q_1$.

Когда внутренний шар соединяют с внешней оболочкой проводником, они образуют единый проводник. Весь заряд $q_1$ по закону сохранения заряда перейдет на внешнюю поверхность этого проводника, то есть на внешнюю сферическую оболочку радиусом $R_2$. Это происходит потому, что заряды в проводнике стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Потенциал поля, создаваемого этим зарядом на поверхности оболочки (и во всем объеме внутри нее, включая соединенный с ней шар), будет равен потенциалу сферы радиусом $R_2$ с зарядом $q_1$:

$\varphi' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1}{R_2}$

Подставим выражение для $q_1$:

$\varphi' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4\pi\varepsilon_0 R_1 \varphi_1}{R_2} = \varphi_1 \frac{R_1}{R_2}$

Выполним вычисления:

$\varphi' = 40 \text{ В} \cdot \frac{0.3 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = 40 \cdot 0.6 = 24$ В.

Ответ: 24 В.

5. Дано:

$\varphi = 0.01$ В (потенциал маленькой капли)

$N = 125$ (количество капель)

Найти:

$\Phi$ - ? (потенциал большой капли)

Решение:

Пусть $\text{q}$ и $\text{r}$ — заряд и радиус одной маленькой капли. Ее потенциал $\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$.

При слиянии $\text{N}$ маленьких капель в одну большую, общий заряд и общий объем сохраняются.

1. Сохранение заряда: Заряд большой капли $\text{Q}$ равен сумме зарядов маленьких капель: $Q = N q$.

2. Сохранение объема: Объем большой капли $\text{V}$ равен сумме объемов маленьких капель. Пусть $\text{R}$ — радиус большой капли.

$V = N v \Rightarrow \frac{4}{3}\pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow R^3 = N r^3 \Rightarrow R = N^{1/3} r$.

Потенциал большой капли $\Phi$ определяется ее зарядом $\text{Q}$ и радиусом $\text{R}$:

$\Phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{N q}{N^{1/3} r} = N^{1 - 1/3} \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}\right) = N^{2/3} \varphi$.

Подставим числовые значения:

$\Phi = 125^{2/3} \cdot 0.01 \text{ В} = (5^3)^{2/3} \cdot 0.01 = 5^2 \cdot 0.01 = 25 \cdot 0.01 = 0.25$ В.

Ответ: 0.25 В.

6. Дано:

$R = 10$ см $= 0.1$ м

$q = -3$ нКл $= -3 \cdot 10^{-9}$ Кл

$Q = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл

$x_2 = 2x_1$

Найти:

$\text{m}$ - ?

Решение:

В начальном состоянии (конденсатор не заряжен) на шарик действуют сила тяжести $F_g = mg$ (вниз) и сила упругости пружины $F_{упр1} = kx_1$ (вверх). Условие равновесия:

$mg = kx_1$ (1)

где $\text{k}$ — жесткость пружины, $x_1$ — начальное растяжение.

Когда конденсатору сообщили заряд $\text{Q}$, между пластинами возникает однородное электрическое поле. Напряженность этого поля $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$, где $S = \pi R^2$ — площадь пластин.

На заряженный шарик начинает действовать электрическая сила $F_э = qE$. Так как растяжение пружины увеличилось, значит, электрическая сила направлена вниз, в ту же сторону, что и сила тяжести. Поскольку заряд шарика $\text{q}$ отрицателен, вектор напряженности поля $\text{E}$ должен быть направлен вверх.

Величина электрической силы: $|F_э| = |q|E = |q| \frac{Q}{\varepsilon_0 \pi R^2}$.

В новом положении равновесия растяжение пружины стало $x_2 = 2x_1$. Новая сила упругости $F_{упр2} = kx_2 = k(2x_1) = 2kx_1$. Условие равновесия:

$F_{упр2} = mg + |F_э|$

$2kx_1 = mg + |F_э|$ (2)

Подставим в уравнение (2) выражение для $kx_1$ из уравнения (1):

$2mg = mg + |F_э|$

$mg = |F_э|$

Отсюда можем найти массу $\text{m}$:

$m = \frac{|F_э|}{g} = \frac{|q|Q}{g \varepsilon_0 \pi R^2}$

Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8$ м/с$^2$ и $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м:

$m = \frac{(3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл})}{(9.8 \text{ м/с}^2) \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2} = \frac{6 \cdot 10^{-17}}{9.8 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3.1416 \cdot 0.01} \approx \frac{6 \cdot 10^{-17}}{2.723 \cdot 10^{-12}} \approx 2.2 \cdot 10^{-5}$ кг.

В граммах: $2.2 \cdot 10^{-5}$ кг $= 0.022$ г $= 22$ мг.

Ответ: $2.2 \cdot 10^{-5}$ кг или 22 мг.