Вариант 3, страница 139 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-13. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Контрольные работы - страница 139.

Условие.

Вариант 3

I

1. Первоначально покоившийся электрон разгоняется электрическим полем с разностью потенциалов 100 В. Чему равна конечная скорость электрона? Считать $q_e / m_e = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

2. Определите толщину диэлектрика конденсатора, емкость которого 1400 пФ, а площадь перекрывающих друг друга пластин равна $1,4 \cdot 10^{-2}$ м$^2$, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 6.

II

3. Рассчитайте, какую работу нужно совершить, чтобы удалить диэлектрик из плоского конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью, равной 2, не отключая его от источника с напряжением 150 В. Емкость конденсатора с диэлектриком равна 2 мкФ.

4. Металлический шар емкостью 8 мкФ заряжен до потенциала 2000 В. Его соединяют проводником с незаряженным шаром емкостью 32 мкФ. Определите энергию, выделившуюся при соединении шаров.

III

5. Во сколько раз надо изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе? Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2,1.

6. Восемь заряженных капель ртути диаметром 2 мм и зарядом по 1 нКл каждая сливаются в одну каплю. Найдите потенциал образовавшейся капли.

Решение.

1. Первоначально покоившийся электрон разгоняется электрическим полем с разностью потенциалов 100 В. Чему равна конечная скорость электрона? Считать $q_e/m_e = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

Дано

$U = 100$ В
$\frac{q_e}{m_e} = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг
$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение

По закону сохранения энергии, работа электрического поля по перемещению электрона равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

Работа электрического поля $\text{A}$ вычисляется по формуле $A = q_e U$, где $q_e$ - заряд электрона, $\text{U}$ - разность потенциалов.

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ равно $\frac{m_e v^2}{2} - \frac{m_e v_0^2}{2}$. Поскольку начальная скорость электрона $v_0 = 0$, то $\Delta E_k = \frac{m_e v^2}{2}$.

Приравнивая выражения для работы и изменения кинетической энергии, получаем:

$q_e U = \frac{m_e v^2}{2}$

Выразим конечную скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{2 q_e U}{m_e}$

$v = \sqrt{2 \frac{q_e}{m_e} U}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot (1,76 \cdot 10^{11} \text{ Кл/кг}) \cdot 100 \text{ В}} = \sqrt{3,52 \cdot 10^{13} \text{ м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{35,2 \cdot 10^{12} \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 5,93 \cdot 10^6$ м/с.

Ответ: $v \approx 5,93 \cdot 10^6$ м/с.

2. Определите толщину диэлектрика конденсатора, емкость которого 1400 пФ, а площадь перекрывающихся друг друга пластин равна $1,4 \cdot 10^{-2}$ м$^2$, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 6.

Дано

$C = 1400 \text{ пФ} = 1400 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 1,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$
$S = 1,4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
$\varepsilon = 6$
$\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Найти:

$\text{d}$ - ?

Решение

Емкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\text{C}$ - емкость, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $\text{S}$ - площадь пластин, $\text{d}$ - расстояние между пластинами (толщина диэлектрика).

Выразим из этой формулы толщину диэлектрика $\text{d}$:

$d = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{C}$

Подставим числовые значения:

$d = \frac{6 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (1,4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2)}{1,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}} = 6 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12-2+9} \text{ м} = 53,1 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 5,31 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,531$ мм.

Ответ: $d = 5,31 \cdot 10^{-4}$ м (или 0,531 мм).

3. Рассчитайте, какую работу нужно совершить, чтобы удалить диэлектрик из плоского конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью, равной 2, не отключая его от источника с напряжением 150 В. Емкость конденсатора с диэлектриком равна 2 мкФ.

Дано

$\varepsilon = 2$
$U = 150$ В
$C_1 = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$\text{A}$ - ?

Решение

Работа, которую необходимо совершить внешней силе для удаления диэлектрика, когда конденсатор подключен к источнику, вычисляется по формуле:

$A = \frac{1}{2} (C_1 - C_2) U^2$

где $C_1$ - начальная емкость (с диэлектриком), $C_2$ - конечная емкость (без диэлектрика), $\text{U}$ - напряжение источника.

Начальная емкость конденсатора (с диэлектриком): $C_1 = 2 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Емкость конденсатора без диэлектрика $C_2$ связана с $C_1$ соотношением $C_1 = \varepsilon C_2$.

Отсюда находим конечную емкость:

$C_2 = \frac{C_1}{\varepsilon} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{2} = 1 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Напряжение на конденсаторе остается постоянным: $U = 150$ В.

Подставим значения в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2}(2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} - 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (150 \text{ В})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10^{-6} \cdot 22500 \text{ Дж} = 11250 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 0,01125$ Дж.

Ответ: $A = 0,01125$ Дж.

4. Металлический шар емкостью 8 мкФ заряжен до потенциала 2000 В. Его соединяют проводником с незаряженным шаром емкостью 32 мкФ. Определите энергию, выделившуюся при соединении шаров.

Дано

$C_1 = 8 \text{ мкФ} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$\phi_1 = 2000$ В
$C_2 = 32 \text{ мкФ} = 32 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$q_2 = 0$ Кл

Найти:

$\Delta W$ - ?

Решение

Выделившаяся энергия равна разности начальной и конечной энергии системы шаров: $\Delta W = W_{нач} - W_{кон}$.

1. Начальная энергия системы. В начальный момент времени второй шар не заряжен, поэтому вся энергия сосредоточена в первом шаре:

$W_{нач} = \frac{C_1 \phi_1^2}{2} = \frac{(8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (2000 \text{ В})^2}{2} = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 16$ Дж.

2. Конечная энергия системы. При соединении шаров проводником происходит перераспределение заряда до тех пор, пока их потенциалы не станут одинаковыми. По закону сохранения заряда, общий заряд системы остается неизменным:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = C_1 \phi_1 + 0 = (8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 2000 \text{ В} = 16 \cdot 10^{-3}$ Кл.

Емкость системы соединенных шаров равна сумме их емкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} + 32 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 40 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Конечная энергия системы:

$W_{кон} = \frac{Q_{общ}^2}{2 C_{общ}} = \frac{(16 \cdot 10^{-3} \text{ Кл})^2}{2 \cdot (40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф})} = \frac{256 \cdot 10^{-6}}{80 \cdot 10^{-6}} \text{ Дж} = 3,2$ Дж.

3. Выделившаяся энергия:

$\Delta W = W_{нач} - W_{кон} = 16 \text{ Дж} - 3,2 \text{ Дж} = 12,8$ Дж.

Ответ: $\Delta W = 12,8$ Дж.

5. Во сколько раз надо изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе? Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2,1.

Дано

$\varepsilon_1 = 1$ (для воздуха)
$\varepsilon_2 = 2,1$ (для керосина)
$F_1 = F_2$

Найти:

$\frac{r_1}{r_2}$ - ?

Решение

Сила взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ на расстоянии $\text{r}$ друг от друга определяется законом Кулона:

$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon r^2}$

Сила взаимодействия в воздухе ($F_1$) при расстоянии $r_1$:

$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon_1 r_1^2}$

Сила взаимодействия в керосине ($F_2$) при расстоянии $r_2$:

$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon_2 r_2^2}$

По условию задачи, $F_1 = F_2$. Приравняем правые части выражений:

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon_2 r_2^2}$

Сократив одинаковые множители, получим:

$\frac{1}{\varepsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{\varepsilon_2 r_2^2}$

$\varepsilon_1 r_1^2 = \varepsilon_2 r_2^2$

Найдем отношение $\frac{r_1}{r_2}$, показывающее, во сколько раз нужно изменить расстояние:

$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}$

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{2,1}{1}} = \sqrt{2,1} \approx 1,45$

Так как отношение $\frac{r_1}{r_2} > 1$, это означает, что расстояние $r_2$ должно быть меньше $r_1$. Следовательно, расстояние нужно уменьшить.

Ответ: Расстояние нужно уменьшить в $\sqrt{2,1} \approx 1,45$ раз.

6. Восемь заряженных капель ртути диаметром 2 мм и зарядом по 1 нКл каждая сливаются в одну каплю. Найдите потенциал образовавшейся капли.

Дано

$N = 8$
$d = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$q = 1 \text{ нКл} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$\phi_{бол}$ - ?

Решение

При слиянии капель сохраняется их общий объем и суммарный электрический заряд.

1. Найдем радиус маленькой капли:

$r = \frac{d}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2} = 1 \cdot 10^{-3}$ м.

2. Найдем общий заряд большой капли:

$Q = N \cdot q = 8 \cdot (1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) = 8 \cdot 10^{-9}$ Кл.

3. Найдем радиус $\text{R}$ большой капли из условия сохранения объема. Объем большой капли $V_{бол}$ равен сумме объемов маленьких капель $N \cdot V_{мал}$:

$V_{бол} = N \cdot V_{мал}$

$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$

$R^3 = N r^3 = 8 r^3$

$R = \sqrt[3]{8} r = 2r = 2 \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}) = 2 \cdot 10^{-3}$ м.

4. Потенциал уединенной проводящей сферы (капли) вычисляется по формуле:

$\phi = k \frac{Q}{R}$, где $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Подставим значения для большой капли:

$\phi_{бол} = (9 \cdot 10^9) \frac{8 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{72}{2 \cdot 10^{-3}} \text{ В} = 36 \cdot 10^3 \text{ В} = 36$ кВ.

Ответ: $\phi_{бол} = 36$ кВ.