Вариант 2, страница 134 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-12. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов - страница 134.

Условие.

Вариант 3

I

1. Два одинаковых металлических шарика, имеющие заряды по $10^{-6}$ Кл каждый, находятся на расстоянии 4 м друг от друга. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся посередине между зарядами.

2. В однородном электрическом поле с напряженностью 50 Н/Кл находится в равновесии капелька массой 1 мг. Определите заряд капельки.

II

3. В трех вершинах квадрата со стороной 1 м находятся положительные точечные заряды по $10^{-7}$ Кл. Определите напряженность поля в центре квадрата.

4. Шарик массой 10 г и зарядом $10^{-6}$ Кл подвешен на нити в однородном электрическом поле напряженностью 1000 Н/Кл. Найдите максимально возможную величину силы натяжения нити.

III

5. Два одинаковых шарика подвешены на нитях длиной 3 м, закрепленных в одной точке. После того как шарикам сообщили заряды по $10^{-5}$ Кл, нити разошлись на $60^{\circ}$. Найдите массу шариков.

6. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды по $4 \cdot 10^{-6}$ Кл. Какой точечный заряд необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды, чтобы напряженность поля в третьей вершине стала равной нулю?

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 10^{-6}$ Кл

$q_2 = 10^{-6}$ Кл

$R = 4$ м

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Напряженность электрического поля – векторная величина. Результирующая напряженность в точке является векторной суммой напряженностей полей, созданных каждым зарядом в этой точке (принцип суперпозиции).

Точка находится посередине между зарядами, поэтому расстояние от каждого заряда до этой точки одинаково и равно $r = R/2 = 4/2 = 2$ м.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ положительные, векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ в точке между ними будут направлены в противоположные стороны. Вектор $\vec{E_1}$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E_2}$ — от заряда $q_2$.

Модули этих векторов равны, так как заряды и расстояния до точки равны:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-6}}{2^2} = \frac{9}{4} \cdot 10^3 = 2.25 \cdot 10^3$ Н/Кл

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-6}}{2^2} = \frac{9}{4} \cdot 10^3 = 2.25 \cdot 10^3$ Н/Кл

Результирующая напряженность равна векторной сумме $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$. Так как векторы равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю.

$E = E_1 - E_2 = 0$

Ответ: Напряженность электрического поля в точке, находящейся посередине между зарядами, равна 0 Н/Кл.

2. Дано:

$E = 50$ Н/Кл

$m = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-6}$ кг

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\text{q}$

Решение:

Капелька находится в равновесии, это означает, что сумма всех действующих на нее сил равна нулю. На капельку действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и электрическая сила $F_e = qE$, которая должна уравновешивать силу тяжести, а значит, направлена вертикально вверх.

Из условия равновесия следует, что модули этих сил равны:

$F_e = F_g$

$qE = mg$

Отсюда можем выразить заряд капельки:

$q = \frac{mg}{E}$

Подставим числовые значения:

$q = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{50 \text{ Н/Кл}} = \frac{9.8 \cdot 10^{-6}}{50} \text{ Кл} = 0.196 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1.96 \cdot 10^{-7}$ Кл.

Ответ: Заряд капельки равен $1.96 \cdot 10^{-7}$ Кл.

3. Дано:

$a = 1$ м

$q_1 = q_2 = q_3 = q = 10^{-7}$ Кл

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$E_{центр}$

Решение:

Воспользуемся принципом суперпозиции. Напряженность поля в центре квадрата равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов. Обозначим вершины квадрата A, B, C, D. Пусть заряды находятся в вершинах A, B, и C.

Расстояние от центра квадрата до любой из его вершин одинаково и равно половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м. Тогда $r^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = 0.5$ м².

Модуль напряженности поля от каждого заряда в центре квадрата будет одинаковым:

$E_0 = k \frac{q}{r^2}$

Если бы в четвертой вершине D находился такой же заряд $\text{q}$, то по соображениям симметрии результирующая напряженность в центре квадрата была бы равна нулю: $\vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_C} + \vec{E_D} = 0$.

Отсюда следует, что векторная сумма напряженностей от трех зарядов в вершинах A, B, C равна по модулю и противоположна по направлению вектору напряженности, который создавал бы четвертый заряд в вершине D:

$\vec{E}_{ABC} = \vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_C} = - \vec{E_D}$

Таким образом, модуль искомой напряженности равен модулю напряженности поля, создаваемого одним зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$:

$E_{центр} = |\vec{E}_{ABC}| = |-\vec{E_D}| = E_D = k \frac{q}{r^2}$

Подставим числовые значения:

$E_{центр} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{0.5} = 18 \cdot 10^2 = 1800$ Н/Кл.

Вектор этой напряженности будет направлен от центра квадрата к четвертой, свободной от заряда вершине D.

Ответ: Напряженность поля в центре квадрата равна 1800 Н/Кл.

4. Дано:

$m = 10 \text{ г} = 0.01$ кг

$q = 10^{-6}$ Кл

$E = 1000$ Н/Кл

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$T_{max}$

Решение:

На шарик действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, электрическая сила $\vec{F_e}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Шарик находится в равновесии, поэтому векторная сумма сил равна нулю: $\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$.

Сила натяжения нити будет максимальной, когда электрическая сила $\vec{F_e}$ будет сонаправлена с силой тяжести $\vec{F_g}$. Так как заряд шарика положителен, это произойдет, если вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ направлен вертикально вниз.

В этом случае все силы действуют вдоль одной вертикальной прямой. Сила натяжения нити $\vec{T}$ направлена вверх, а силы $\vec{F_g}$ и $\vec{F_e}$ — вниз. Условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$T - F_g - F_e = 0$

$T_{max} = F_g + F_e$

Найдем модули сил:

$F_g = mg = 0.01 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.098$ Н

$F_e = qE = 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 1000 \text{ Н/Кл} = 0.001$ Н

Тогда максимальная сила натяжения нити равна:

$T_{max} = 0.098 \text{ Н} + 0.001 \text{ Н} = 0.099$ Н

Ответ: Максимально возможная величина силы натяжения нити равна 0.099 Н.

5. Дано:

$L = 3$ м

$q = 10^{-5}$ Кл

$2\alpha = 60^\circ \implies \alpha = 30^\circ$

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\text{m}$

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила натяжения нити $\text{T}$ (вдоль нити) и сила Кулона $F_e$ (горизонтально, отталкивание). Угол отклонения нити от вертикали равен $\alpha = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Ось X: $T \sin\alpha - F_e = 0 \implies T \sin\alpha = F_e$

Ось Y: $T \cos\alpha - mg = 0 \implies T \cos\alpha = mg$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan\alpha = \frac{F_e}{mg}$

Отсюда масса шарика: $m = \frac{F_e}{g \tan\alpha}$.

Сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{r^2}$, где $\text{r}$ – расстояние между шариками.

Из геометрии системы находим расстояние $\text{r}$: $r = 2L \sin\alpha$.

$r = 2 \cdot 3 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot 0.5 = 3$ м.

Теперь вычислим силу Кулона:

$F_e = 9 \cdot 10^9 \frac{(10^{-5})^2}{3^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-10}}{9} = 0.1$ Н.

Найдем массу шарика:

$m = \frac{0.1 \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(30^\circ)} = \frac{0.1}{9.8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{0.1 \cdot \sqrt{3}}{9.8} \approx \frac{0.1 \cdot 1.732}{9.8} \approx 0.0177$ кг.

Ответ: Масса шариков примерно равна 0.0177 кг (или 17.7 г).

6. Дано:

$q_1 = q_2 = q = 4 \cdot 10^{-6}$ Кл

$E_{total} = 0$ в третьей вершине

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$q_3$

Решение:

Пусть вершины равностороннего треугольника A, B, C, а сторона равна $\text{a}$. Заряды $q_1=q$ и $q_2=q$ находятся в вершинах A и B. Искомый заряд $q_3$ помещается в точку M - середину стороны AB. Мы ищем напряженность в вершине C.

Поле в точке C равно векторной сумме полей от трех зарядов: $\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$. По условию $\vec{E}_C = 0$, следовательно $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = - \vec{E}_3$.

Сначала найдем результирующее поле $\vec{E}_{12} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ от зарядов в вершинах A и B. Расстояния $AC=BC=a$. Модули напряженностей $E_1$ и $E_2$ равны: $E_1 = E_2 = E_0 = k \frac{q}{a^2}$. Векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены вдоль сторон AC и BC от зарядов, угол между ними равен $60^\circ$.

Модуль их суммы найдем по правилу параллелограмма (теорема косинусов):

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2 \cdot 0.5} = \sqrt{3E_0^2} = E_0 \sqrt{3}$.

$E_{12} = k \frac{q\sqrt{3}}{a^2}$.

Вектор $\vec{E}_{12}$ по симметрии направлен вдоль высоты (и медианы) CM, опущенной из вершины C на сторону AB, в сторону от этой стороны.

Поле $\vec{E}_3$, создаваемое зарядом $q_3$ в точке C, должно быть равно по модулю $E_{12}$ и направлено в противоположную сторону, то есть от C к M. Чтобы поле было направлено к заряду, заряд $q_3$ должен быть отрицательным.

Расстояние от точки M до вершины C равно высоте треугольника $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Модуль поля $E_3$ равен: $E_3 = k \frac{|q_3|}{h^2} = k \frac{|q_3|}{(a\sqrt{3}/2)^2} = k \frac{4|q_3|}{3a^2}$.

Приравниваем модули $E_{12}$ и $E_3$:

$k \frac{q\sqrt{3}}{a^2} = k \frac{4|q_3|}{3a^2}$

$q\sqrt{3} = \frac{4|q_3|}{3}$

$|q_3| = \frac{3\sqrt{3}}{4}q$

Так как заряд $q_3$ отрицательный, $q_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{4}q$.

Подставляем значение $\text{q}$:

$q_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{4} (4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) = -3\sqrt{3} \cdot 10^{-6}$ Кл.

$q_3 \approx -3 \cdot 1.732 \cdot 10^{-6} \approx -5.2 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Ответ: Необходимо поместить заряд $q_3 = -3\sqrt{3} \cdot 10^{-6}$ Кл (приблизительно $-5.2 \cdot 10^{-6}$ Кл).