Вариант 4, страница 128 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-10. Агрегатные состояния вещества. Контрольные работы - страница 128.

Условие.

Вариант 4

I

1. Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь радиусом 7 см? Поверхностное натяжение мыльного раствора равно $4 \cdot 10^{-2}$ Н/м.

2. Сколько энергии израсходовано на нагревание воды массой 750 г от 20 до $100 \text{ °C}$ и последующее образование пара массой 250 г? Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг $\cdot$ °С), удельная теплота парообразования воды — 2,3 МДж/кг.

II

3. К стальному стержню сечением 2 см$^2$ подвешен груз массой 5 т. Каким запасом прочности обладает стержень, если разрушающая нагрузка для стали при растяжении равна $12,5 \cdot 10^8$ Па?

4. В калориметр налили воду массой 390 г при температуре $20 \text{ °C}$ и воду массой 210 г — при температуре $60 \text{ °C}$. Определите установившуюся температуру воды. Теплоемкостью калориметра пренебречь.

III

5. В сосуд, содержащий 30 л воды, впускают 1,85 кг водяного пара при $100 \text{ °C}$. После конденсации пара температура воды в сосуде повысилась до $37 \text{ °C}$. Найдите первоначальную температуру воды. Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг $\cdot$ °С), удельная теплота парообразования воды — 2,3 МДж/кг.

6. Днем при температуре $20 \text{ °C}$ относительная влажность воздуха была равна 60%. Сколько воды в виде росы выделится из каждого кубического метра воздуха, если температура ночью понизилась до $8 \text{ °C}$? Давление насыщенного пара при $20 \text{ °C}$ равно 2,33 кПа, а при $8 \text{ °C}$ — 1,1 кПа.

Решение.

1. Работа, совершаемая при выдувании мыльного пузыря, идет на увеличение его поверхностной энергии. Работа вычисляется по формуле $A = \sigma \Delta S$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $\Delta S$ — изменение площади поверхности. У мыльного пузыря две поверхности (внутренняя и внешняя), поэтому при создании пузыря радиусом $\text{r}$ общая площадь поверхности равна $S = 2 \cdot 4\pi r^2 = 8\pi r^2$. Начальная площадь равна нулю, поэтому $\Delta S = S$.

Дано:

$r = 7 \text{ см}$

$\sigma = 4 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}$

Перевод в СИ:

$r = 0.07 \text{ м}$

Найти:

$\text{A}$ — работа.

Решение:

Формула для работы:

$A = \sigma \Delta S = \sigma \cdot (8\pi r^2)$

Подставим числовые значения:

$A = (4 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}) \cdot (8 \cdot 3.14159 \cdot (0.07 \text{ м})^2) = (4 \cdot 10^{-2}) \cdot (8 \cdot 3.14159 \cdot 0.0049) \approx 4.926 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Ответ: $4.93 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$.

2. Общее количество энергии складывается из двух процессов:

1. Нагревание всей массы воды от 20 °С до 100 °С ($Q_1$).

2. Превращение части этой воды в пар при температуре кипения 100 °С ($Q_2$).

Общее количество энергии $Q = Q_1 + Q_2$.

Дано:

$m_в = 750 \text{ г}$ (масса всей воды)

$t_1 = 20 \text{ °С}$

$t_2 = 100 \text{ °С}$

$m_п = 250 \text{ г}$ (масса пара)

$c = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)}$

$L = 2.3 \text{ МДж/кг}$

Перевод в СИ:

$m_в = 0.75 \text{ кг}$

$m_п = 0.25 \text{ кг}$

$L = 2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$

Найти:

$\text{Q}$ — общая энергия.

Решение:

1. Энергия, затраченная на нагревание воды:

$Q_1 = c \cdot m_в \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_1 = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 0.75 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °С} - 20 \text{ °С}) = 3150 \cdot 80 = 252000 \text{ Дж}$

2. Энергия, затраченная на парообразование:

$Q_2 = L \cdot m_п$

$Q_2 = (2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}) \cdot 0.25 \text{ кг} = 575000 \text{ Дж}$

3. Общая энергия:

$Q = Q_1 + Q_2 = 252000 \text{ Дж} + 575000 \text{ Дж} = 827000 \text{ Дж} = 827 \text{ кДж}$

Ответ: $827 \text{ кДж}$.

3. Запас прочности — это отношение разрушающей нагрузки (предела прочности) к действующей (рабочей) нагрузке. Рабочая нагрузка (механическое напряжение) в стержне создается весом подвешенного груза.

Дано:

$S = 2 \text{ см}^2$

$m = 5 \text{ т}$

$\sigma_{разр} = 12.5 \cdot 10^8 \text{ Па}$

Перевод в СИ:

$S = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$m = 5000 \text{ кг}$

Найти:

$\text{n}$ — запас прочности.

Решение:

1. Найдем силу тяжести, действующую на стержень:

$F = m \cdot g$

Примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$F = 5000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 49000 \text{ Н}$

2. Рассчитаем рабочее напряжение в стержне:

$\sigma_{раб} = \frac{F}{S}$

$\sigma_{раб} = \frac{49000 \text{ Н}}{2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = 245000000 \text{ Па} = 2.45 \cdot 10^8 \text{ Па}$

3. Определим запас прочности:

$n = \frac{\sigma_{разр}}{\sigma_{раб}}$

$n = \frac{12.5 \cdot 10^8 \text{ Па}}{2.45 \cdot 10^8 \text{ Па}} \approx 5.1$

Ответ: Запас прочности стержня примерно равен $5.1$.

4. В системе, состоящей из двух порций воды разной температуры, происходит теплообмен до установления теплового равновесия. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. Теплоемкостью калориметра пренебрегаем.

Дано:

$m_1 = 390 \text{ г}$ (холодная вода)

$t_1 = 20 \text{ °С}$

$m_2 = 210 \text{ г}$ (горячая вода)

$t_2 = 60 \text{ °С}$

Найти:

$\theta$ — установившаяся температура.

Решение:

Составим уравнение теплового баланса: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$.

Количество теплоты, отданное горячей водой: $Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta)$.

Количество теплоты, полученное холодной водой: $Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$.

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta) = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Удельную теплоемкость воды $\text{c}$ можно сократить:

$m_2 \cdot (t_2 - \theta) = m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Подставим значения (массу можно оставить в граммах, так как единицы измерения сократятся):

$210 \cdot (60 - \theta) = 390 \cdot (\theta - 20)$

$12600 - 210\theta = 390\theta - 7800$

$12600 + 7800 = 390\theta + 210\theta$

$20400 = 600\theta$

$\theta = \frac{20400}{600} = 34 \text{ °С}$

Ответ: Установившаяся температура воды равна $34 \text{ °С}$.

5. Тепловой баланс: количество теплоты, отданное паром при конденсации и последующем остывании, равно количеству теплоты, полученному водой в сосуде.

Дано:

$V_в = 30 \text{ л}$ (объем воды)

$m_п = 1.85 \text{ кг}$ (масса пара)

$t_п = 100 \text{ °С}$ (температура пара)

$\theta = 37 \text{ °С}$ (конечная температура)

$c = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)}$

$L = 2.3 \text{ МДж/кг}$

Перевод в СИ:

Плотность воды $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \text{ кг/л}$. Тогда масса воды $m_в = V_в \cdot \rho_в = 30 \text{ л} \cdot 1 \text{ кг/л} = 30 \text{ кг}$.

$L = 2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$

Найти:

$t_{нач}$ — первоначальная температура воды.

Решение:

1. Теплота, отданная паром ($Q_{отд}$), состоит из двух частей: теплоты конденсации ($Q_к$) и теплоты остывания образовавшейся воды ($Q_о$).

$Q_к = L \cdot m_п = (2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}) \cdot 1.85 \text{ кг} = 4255000 \text{ Дж}$

$Q_о = c \cdot m_п \cdot (t_п - \theta) = 4200 \cdot 1.85 \cdot (100 - 37) = 7770 \cdot 63 = 489510 \text{ Дж}$

$Q_{отд} = Q_к + Q_о = 4255000 + 489510 = 4744510 \text{ Дж}$

2. Теплота, полученная водой в сосуде ($Q_{получ}$):

$Q_{получ} = c \cdot m_в \cdot (\theta - t_{нач})$

$Q_{получ} = 4200 \cdot 30 \cdot (37 - t_{нач}) = 126000 \cdot (37 - t_{нач})$

3. Приравниваем отданную и полученную теплоту:

$Q_{отд} = Q_{получ}$

$4744510 = 126000 \cdot (37 - t_{нач})$

$37 - t_{нач} = \frac{4744510}{126000} \approx 37.655$

$t_{нач} = 37 - 37.655 \approx -0.655 \text{ °С}$

Ответ: Первоначальная температура воды была примерно $-0.66 \text{ °С}$.

6. Количество выпавшей росы равно разности между массой водяного пара, содержавшегося в 1 м³ воздуха днем, и максимальной массой водяного пара, которая может содержаться в 1 м³ воздуха при ночной температуре.

Дано:

$V = 1 \text{ м}^3$

$t_1 = 20 \text{ °С}$ (днем)

$\phi_1 = 60\%$

$P_{н1} = 2.33 \text{ кПа}$ (давление насыщенного пара при 20 °С)

$t_2 = 8 \text{ °С}$ (ночью)

$P_{н2} = 1.1 \text{ кПа}$ (давление насыщенного пара при 8 °С)

Перевод в СИ:

$T_1 = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ К}$

$\phi_1 = 0.6$

$P_{н1} = 2330 \text{ Па}$

$T_2 = 8 + 273.15 = 281.15 \text{ К}$

$P_{н2} = 1100 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta m$ — масса выпавшей росы.

Решение:

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для водяного пара: $PV = \frac{m}{M}RT$, где $\text{M}$ — молярная масса воды ($0.018$ кг/моль), $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная ($8.314$ Дж/(моль·К)).

Массу пара можно выразить как $m = \frac{PVM}{RT}$.

1. Найдем массу пара в 1 м³ воздуха днем ($m_1$):

Парциальное давление пара днем: $P_1 = \phi_1 \cdot P_{н1} = 0.6 \cdot 2330 \text{ Па} = 1398 \text{ Па}$.

$m_1 = \frac{1398 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3 \cdot 0.018 \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 293.15 \text{ К}} \approx 0.01034 \text{ кг}$

2. Ночью воздух охлаждается, и влажность становится 100% (так как выпадает роса). Парциальное давление пара становится равным давлению насыщенного пара при ночной температуре ($P_2 = P_{н2}$). Найдем массу пара в 1 м³ воздуха ночью ($m_2$):

$m_2 = \frac{1100 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3 \cdot 0.018 \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 281.15 \text{ К}} \approx 0.00847 \text{ кг}$

3. Масса выпавшей росы:

$\Delta m = m_1 - m_2 = 0.01034 \text{ кг} - 0.00847 \text{ кг} = 0.00187 \text{ кг} = 1.87 \text{ г}$

Ответ: Выделится примерно $1.87 \text{ г}$ воды.