Вариант 2, страница 122 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-9. Термодинамика. Контрольные работы - страница 122.

Условие.

Вариант 3

I

1. Чему равна внутренняя энергия всех молекул одноатомного идеального газа, имеющего объем $10 \text{ м}^3$, при давлении $5 \cdot 10^5 \text{ Па}$?

2. Какую работу совершает газ, расширяясь при постоянном давлении $200 \text{ кПа}$ от объема $1,6 \text{ л}$ до $2,6 \text{ л}$?

II

3. Азот имеет объем $2,5 \text{ л}$ при давлении $100 \text{ кПа}$. Рассчитайте, на сколько изменилась внутренняя энергия газа, если при уменьшении его объема в 10 раз давление повысилось в 20 раз.

4. Температуры нагревателя и холодильника идеальной тепловой машины соответственно равны $380 \text{ К}$ и $280 \text{ К}$. Во сколько раз увеличится КПД машины, если температуру нагревателя увеличить на $200 \text{ К}$?

III

5. На сколько изменилась внутренняя энергия $10 \text{ моль}$ одноатомного идеального газа при изобарном нагревании на $100 \text{ К}$? Какую работу совершил при этом газ и какое количество теплоты ему сообщено?

6. В идеальном тепловом двигателе абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты $40 \text{ кДж}$. Какую работу совершил газ?

Решение.

1. Чему равна внутренняя энергия всех молекул одноатомного идеального газа, имеющего объем 10 м³, при давлении 5 · 10⁵ Па?

Дано:

Газ - одноатомный идеальный
$V = 10 \text{ м³}$
$p = 5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\text{U}$ - ?

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется по формуле:

$U = \frac{3}{2} \nu R T$

где $\nu$ - количество вещества, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu R T$, мы можем выразить внутреннюю энергию через давление $\text{p}$ и объем $\text{V}$:

$U = \frac{3}{2} pV$

Подставим данные из условия задачи:

$U = \frac{3}{2} \cdot (5 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (10 \text{ м³}) = 1.5 \cdot 50 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 7.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Переведем джоули в мегаджоули:

$7.5 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 7.5 \text{ МДж}$

Ответ: внутренняя энергия газа равна $7.5 \cdot 10^6 \text{ Дж}$ или $7.5 \text{ МДж}$.

2. Какую работу совершает газ, расширяясь при постоянном давлении 200 кПа от объема 1,6 л до 2,6 л?

Дано:

$p = 200 \text{ кПа}$
$V_1 = 1.6 \text{ л}$
$V_2 = 2.6 \text{ л}$

$p = 200 \cdot 10^3 \text{ Па} = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$V_1 = 1.6 \cdot 10^{-3} \text{ м³}$
$V_2 = 2.6 \cdot 10^{-3} \text{ м³}$

Найти:

$\text{A}$ - ?

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении), вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)$

Найдем изменение объема газа:

$\Delta V = 2.6 \text{ л} - 1.6 \text{ л} = 1.0 \text{ л} = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м³}$

Теперь рассчитаем работу:

$A = (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м³}) = 2 \cdot 10^2 \text{ Дж} = 200 \text{ Дж}$

Ответ: газ совершает работу $200 \text{ Дж}$.

3. Азот имеет объем 2,5 л при давлении 100 кПа. Рассчитайте, на сколько изменилась внутренняя энергия газа, если при уменьшении его объема в 10 раз давление повысилось в 20 раз.

Дано:

Газ - азот ($N_2$)
$V_1 = 2.5 \text{ л}$
$p_1 = 100 \text{ кПа}$
$V_2 = V_1 / 10$
$p_2 = 20 \cdot p_1$

$V_1 = 2.5 \cdot 10^{-3} \text{ м³}$
$p_1 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta U$ - ?

Решение:

Азот ($N_2$) является двухатомным газом. Внутренняя энергия идеального двухатомного газа вычисляется по формуле:

$U = \frac{5}{2} \nu R T$

Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$, выразим внутреннюю энергию через давление и объем:

$U = \frac{5}{2} pV$

Изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{5}{2} p_2 V_2 - \frac{5}{2} p_1 V_1 = \frac{5}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1)$

Вычислим начальное и конечное произведение $pV$:

$p_1 V_1 = (10^5 \text{ Па}) \cdot (2.5 \cdot 10^{-3} \text{ м³}) = 250 \text{ Дж}$

$p_2 V_2 = (20 p_1) \cdot (\frac{V_1}{10}) = 2 p_1 V_1 = 2 \cdot 250 \text{ Дж} = 500 \text{ Дж}$

Теперь найдем изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{5}{2} (500 \text{ Дж} - 250 \text{ Дж}) = \frac{5}{2} \cdot 250 \text{ Дж} = 2.5 \cdot 250 \text{ Дж} = 625 \text{ Дж}$

Ответ: внутренняя энергия газа изменилась (увеличилась) на $625 \text{ Дж}$.

4. Температуры нагревателя и холодильника идеальной тепловой машины соответственно равны 380 К и 280 К. Во сколько раз увеличится КПД машины, если температуру нагревателя увеличить на 200 К?

Дано:

$T_{H1} = 380 \text{ К}$
$T_C = 280 \text{ К}$
$\Delta T_H = 200 \text{ К}$

Найти:

$\frac{\eta_2}{\eta_1}$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины (цикл Карно) определяется температурами нагревателя ($T_H$) и холодильника ($T_C$):

$\eta = \frac{T_H - T_C}{T_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$

Рассчитаем начальный КПД ($\eta_1$) при $T_{H1} = 380 \text{ К}$:

$\eta_1 = 1 - \frac{280 \text{ К}}{380 \text{ К}} = \frac{380 - 280}{380} = \frac{100}{380} = \frac{5}{19}$

Найдем новую температуру нагревателя ($T_{H2}$):

$T_{H2} = T_{H1} + \Delta T_H = 380 \text{ К} + 200 \text{ К} = 580 \text{ К}$

Рассчитаем новый КПД ($\eta_2$) при $T_{H2} = 580 \text{ К}$ (температура холодильника не меняется):

$\eta_2 = 1 - \frac{280 \text{ К}}{580 \text{ К}} = \frac{580 - 280}{580} = \frac{300}{580} = \frac{15}{29}$

Найдем, во сколько раз увеличился КПД:

$\frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{15/29}{5/19} = \frac{15}{29} \cdot \frac{19}{5} = \frac{3 \cdot 19}{29} = \frac{57}{29} \approx 1.97$

Ответ: КПД машины увеличится в $\frac{57}{29}$ раза, или примерно в $1.97$ раза.

5. На сколько изменилась внутренняя энергия 10 моль одноатомного идеального газа при изобарном нагревании на 100 К? Какую работу совершил при этом газ и какое количество теплоты ему сообщено?

Дано:

Газ - одноатомный идеальный
$\nu = 10 \text{ моль}$
Процесс - изобарный ($p = \text{const}$)
$\Delta T = 100 \text{ К}$
$R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

$\Delta U$ - ?, $\text{A}$ - ?, $\text{Q}$ - ?

Решение:

1. Изменение внутренней энергии ($\Delta U$). Для идеального газа изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры. Для одноатомного газа:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 10 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К} = 1.5 \cdot 8310 \text{ Дж} = 12465 \text{ Дж} \approx 12.5 \text{ кДж}$

2. Работа газа ($\text{A}$). В изобарном процессе работа газа вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для изобарного процесса следует, что $p \Delta V = \nu R \Delta T$. Следовательно:

$A = \nu R \Delta T$

$A = 10 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К} = 8310 \text{ Дж} = 8.31 \text{ кДж}$

3. Количество теплоты ($\text{Q}$). Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы:

$Q = \Delta U + A$

$Q = 12465 \text{ Дж} + 8310 \text{ Дж} = 20775 \text{ Дж} \approx 20.8 \text{ кДж}$

Ответ: изменение внутренней энергии $\Delta U = 12465 \text{ Дж}$; работа газа $A = 8310 \text{ Дж}$; сообщенное количество теплоты $Q = 20775 \text{ Дж}$.

6. В идеальном тепловом двигателе абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты 40 кДж. Какую работу совершил газ?

Дано:

$T_H = 3 T_C$
$Q_H = 40 \text{ кДж}$

$Q_H = 40 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$\text{A}$ - ?

Решение:

КПД идеального теплового двигателя определяется двумя способами: через температуры нагревателя ($T_H$) и холодильника ($T_C$) и через количество теплоты, полученное от нагревателя ($Q_H$), и совершенную работу ($\text{A}$).

1. КПД через температуры:

$\eta = \frac{T_H - T_C}{T_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$

Подставим соотношение температур из условия:

$\eta = 1 - \frac{T_C}{3 T_C} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2. КПД через работу и теплоту:

$\eta = \frac{A}{Q_H}$

Отсюда можем выразить работу:

$A = \eta \cdot Q_H$

Подставим найденное значение КПД и данное количество теплоты:

$A = \frac{2}{3} \cdot 40 \text{ кДж} = \frac{80}{3} \text{ кДж} \approx 26.7 \text{ кДж}$

Ответ: газ совершил работу, равную $\frac{80}{3} \text{ кДж}$ или приблизительно $26.7 \text{ кДж}$.