Вариант 1, страница 117 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Контрольные работы - страница 117.

Условие.

КР-8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Вариант 1

I

1. Какова масса кислорода, содержащегося в баллоне объемом 50 л при температуре 27 °C и давлении $2 \cdot 10^6$ Па?

2. Рассчитайте температуру, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна $10,35 \cdot 10^{-21}$ Дж.

II

3. Определите плотность азота при температуре 27 °C и давлении 100 кПа.

4. При давлении 250 кПа газ массой 8 кг занимает объем $15 \text{ м}^3$. Чему равна средняя квадратичная скорость движения молекул газа?

III

5. Какова плотность смеси, состоящей из 32 г кислорода и 22 г углекислого газа при температуре 0 °C и давлении 100 кПа?

6. Открытую стеклянную колбу вместимостью $250 \text{ см}^3$ нагрели до 127 °C, после чего ее горлышко опустили в воду. Сколько граммов воды войдет в колбу, если она охладится до 7 °C? Давление в колбе считать постоянным.

Решение.

1. Какова масса кислорода, содержащегося в баллоне объемом 50 л при температуре 27 °C и давлении 2·10⁶ Па?

Дано:

$V = 50$ л = $50 \cdot 10^{-3}$ м³ = $0.05$ м³
$t = 27$ °C, $T = 27 + 273 = 300$ К
$P = 2 \cdot 10^6$ Па
$M(O_2) = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\text{m}$ - ?

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):
$PV = \frac{m}{M}RT$
Отсюда выразим массу газа $\text{m}$:
$m = \frac{PVM}{RT}$
Подставим числовые значения:
$m = \frac{2 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0.05 \text{ м}^3 \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{3200}{2494.2} \approx 1.283$ кг.

Ответ: масса кислорода примерно 1.28 кг.

2. Рассчитайте температуру, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна 10,35·10⁻²¹ Дж.

Дано:

$\bar{E_k} = 10.35 \cdot 10^{-21}$ Дж
$k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К (постоянная Больцмана)

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа связана с абсолютной температурой соотношением:
$\bar{E_k} = \frac{3}{2}kT$
Выразим из этой формулы температуру $\text{T}$:
$T = \frac{2\bar{E_k}}{3k}$
Подставим числовые значения:
$T = \frac{2 \cdot 10.35 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} = \frac{20.7 \cdot 10^{-21}}{4.14 \cdot 10^{-23}} = 5 \cdot 10^2 = 500$ К.

Ответ: температура равна 500 К (или 227 °C).

3. Определите плотность азота при температуре 27 °C и давлении 100 кПа.

Дано:

$t = 27$ °C, $T = 27 + 273 = 300$ К
$P = 100$ кПа = $100 \cdot 10^3$ Па = $10^5$ Па
$M(N_2) = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\rho$ - ?

Решение:

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы $\text{m}$ к объему $\text{V}$: $\rho = \frac{m}{V}$.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона $PV = \frac{m}{M}RT$ можно выразить отношение $\frac{m}{V}$:
$P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$
Отсюда выражаем плотность $\rho$:
$\rho = \frac{PM}{RT}$
Подставим числовые значения:
$\rho = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{2800}{2494.2} \approx 1.123$ кг/м³.

Ответ: плотность азота примерно 1.12 кг/м³.

4. При давлении 250 кПа газ массой 8 кг занимает объем 15 м³. Чему равна средняя квадратичная скорость движения молекул газа?

Дано:

$P = 250$ кПа = $250 \cdot 10^3$ Па = $2.5 \cdot 10^5$ Па
$m = 8$ кг
$V = 15$ м³

Найти:

$v_{кв}$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с его микроскопическими параметрами:
$P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$
где $\rho$ - плотность газа, а $\langle v^2 \rangle$ - средний квадрат скорости. Средняя квадратичная скорость $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$. Тогда $\langle v^2 \rangle = v_{кв}^2$.
$P = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2$
Выразим среднюю квадратичную скорость:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$
Плотность газа: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{8 \text{ кг}}{15 \text{ м}^3}$
Подставим значения в формулу для скорости:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2.5 \cdot 10^5 \text{ Па}}{8/15 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2.5 \cdot 10^5 \cdot 15}{8}} = \sqrt{\frac{112.5 \cdot 10^5}{8}} = \sqrt{1406250} \approx 1186$ м/с.

Ответ: средняя квадратичная скорость движения молекул газа примерно 1186 м/с.

5. Какова плотность смеси, состоящей из 32 г кислорода и 22 г углекислого газа при температуре 0 °C и давлении 100 кПа?

Дано:

$m_{O_2} = 32$ г = $0.032$ кг
$m_{CO_2} = 22$ г = $0.022$ кг
$t = 0$ °C, $T = 0 + 273 = 273$ К
$P = 100$ кПа = $10^5$ Па
$M(O_2) = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$M(CO_2) = 44 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\rho_{см}$ - ?

Решение:

Плотность смеси газов можно найти по формуле, аналогичной формуле для одного газа, используя среднюю молярную массу смеси:
$\rho_{см} = \frac{P M_{см}}{RT}$
Средняя молярная масса смеси $M_{см}$ находится как отношение общей массы смеси $m_{общ}$ к общему количеству вещества $\nu_{общ}$:
$M_{см} = \frac{m_{общ}}{\nu_{общ}} = \frac{m_{O_2} + m_{CO_2}}{\nu_{O_2} + \nu_{CO_2}}$
Найдем количество вещества для каждого газа:
$\nu_{O_2} = \frac{m_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{0.032 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} = 1$ моль
$\nu_{CO_2} = \frac{m_{CO_2}}{M_{CO_2}} = \frac{0.022 \text{ кг}}{0.044 \text{ кг/моль}} = 0.5$ моль
Общее количество вещества: $\nu_{общ} = 1 + 0.5 = 1.5$ моль
Общая масса смеси: $m_{общ} = 0.032 + 0.022 = 0.054$ кг
Средняя молярная масса:
$M_{см} = \frac{0.054 \text{ кг}}{1.5 \text{ моль}} = 0.036$ кг/моль
Теперь можем рассчитать плотность смеси:
$\rho_{см} = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0.036 \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 273 \text{ К}} = \frac{3600}{2269.722} \approx 1.586$ кг/м³.

Ответ: плотность смеси примерно 1.59 кг/м³.

6. Открытую стеклянную колбу вместимостью 250 см³ нагрели до 127 °C, после чего ее горлышко опустили в воду. Сколько граммов воды войдет в колбу, если она охладится до 7 °C? Давление в колбе считать постоянным.

Дано:

$V_{колбы} = 250$ см³
$t_1 = 127$ °C, $T_1 = 127 + 273 = 400$ К
$t_2 = 7$ °C, $T_2 = 7 + 273 = 280$ К
$P = \text{const}$ (изобарный процесс)
$\rho_{воды} \approx 1$ г/см³

Найти:

$m_{воды}$ - ?

Решение:

Когда открытую колбу нагревают, часть воздуха из нее выходит. В колбе при температуре $T_1$ остается воздух, занимающий весь объем колбы $V_1 = V_{колбы}$.
Когда горлышко колбы опускают в воду и колба охлаждается до температуры $T_2$, давление воздуха внутри уменьшается, и в колбу засасывается вода. По условию, давление в колбе остается постоянным, это означает, что процесс охлаждения воздуха, оставшегося в колбе, является изобарным.
Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
где $V_1 = V_{колбы}$ - начальный объем воздуха (при $T_1$), а $V_2$ - конечный объем воздуха (при $T_2$).
Найдем объем воздуха в колбе после охлаждения:
$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1} = V_{колбы} \frac{T_2}{T_1}$
$V_2 = 250 \text{ см}^3 \cdot \frac{280 \text{ К}}{400 \text{ К}} = 250 \cdot \frac{7}{10} = 175$ см³.
Объем, который займет вода в колбе, равен разности между объемом колбы и конечным объемом воздуха:
$V_{воды} = V_{колбы} - V_2 = 250 \text{ см}^3 - 175 \text{ см}^3 = 75$ см³.
Массу вошедшей воды найдем по формуле $m = \rho \cdot V$ :
$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды} = 1 \text{ г/см}^3 \cdot 75 \text{ см}^3 = 75$ г.

Ответ: в колбу войдет 75 граммов воды.