Вариант 3, страница 115 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-7. Закон сохранения энергии. Контрольные работы - страница 115.

Условие.

Вариант 3

I

1. Чему равна потенциальная энергия растянутой на $5\ \text{см}$ пружины, имеющей жесткость $40\ \text{Н}/\text{м}$?

2. Автомобиль массой $4\ \text{т}$ движется по горизонтальному участку дороги. При скорости $20\ \text{м}/\text{с}$ отключают двигатель. Какую работу совершит сила трения до полной остановки автомобиля?

II

3. Определите, на какой высоте кинетическая энергия мяча, брошенного вертикально вверх со скоростью $16\ \text{м}/\text{с}$, равна его потенциальной энергии.

4. Самолет массой $2\ \text{т}$ летит со скоростью $50\ \text{м}/\text{с}$. На высоте $420\ \text{м}$ он переходит на снижение (при выключенном двигателе) и совершает посадку, имея скорость $30\ \text{м}/\text{с}$. Определите работу силы сопротивления воздуха во время планирующего полета.

III

5. Падающим с высоты $1,2\ \text{м}$ грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на $2\ \text{см}$. Определите среднюю силу удара, если масса груза $500\ \text{кг}$, а масса сваи много меньше массы груза.

6. На гладком горизонтальном столе покоится шар. С ним сталкивается другой такой же шар. Удар абсолютно упругий и нецентральный. Под каким углом разлетятся шары?

Решение.

1. Чему равна потенциальная энергия растянутой на 5 см пружины, имеющей жесткость 40 Н/м?

Дано:

Жесткость пружины, $k = 40$ Н/м

Растяжение пружины, $x = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$x = 0,05$ м

Найти:

Потенциальную энергию пружины, $E_p$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (в данном случае, растянутой пружины) вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$E_p = \frac{40 \text{ Н/м} \cdot (0,05 \text{ м})^2}{2} = \frac{40 \cdot 0,0025}{2} = 20 \cdot 0,0025 = 0,05$ Дж

Ответ: Потенциальная энергия пружины равна 0,05 Дж.

2. Автомобиль массой 4 т движется по горизонтальному участку дороги. При скорости 20 м/с отключают двигатель. Какую работу совершит сила трения до полной остановки автомобиля?

Дано:

Масса автомобиля, $m = 4$ т

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с

Конечная скорость, $v = 0$ м/с

Перевод в систему СИ:

$m = 4000$ кг

Найти:

Работу силы трения, $A_{тр}$ - ?

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела. После отключения двигателя на автомобиль в горизонтальном направлении действует только сила трения. Следовательно, работа силы трения равна изменению кинетической энергии автомобиля.

$A_{тр} = \Delta E_k = E_{k} - E_{k0}$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$.

Конечная кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2} = 0$, так как автомобиль остановился.

Тогда работа силы трения:

$A_{тр} = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$A_{тр} = -\frac{4000 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с})^2}{2} = -\frac{4000 \cdot 400}{2} = -2000 \cdot 400 = -800000$ Дж

Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена противоположно перемещению автомобиля.

$A_{тр} = -800$ кДж

Ответ: Работа силы трения равна -800 кДж.

3. Определите, на какой высоте кинетическая энергия мяча, брошенного вертикально вверх со скоростью 16 м/с, равна его потенциальной энергии.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 16$ м/с

Условие: $E_k = E_p$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Высоту, $\text{h}$ - ?

Решение:

Используем закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия мяча в начальный момент (на поверхности земли, $h_0=0$) равна его полной механической энергии на искомой высоте $\text{h}$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

$E_0 = E_h$

$E_{k0} + E_{p0} = E_k + E_p$

В начальный момент времени ($h_0=0$): $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$, $E_{p0} = 0$.

На высоте $\text{h}$: $E_k = \frac{mv^2}{2}$, $E_p = mgh$.

По условию задачи на высоте $\text{h}$ кинетическая энергия равна потенциальной: $E_k = E_p = mgh$.

Тогда полная энергия на высоте $\text{h}$ равна $E_h = E_k + E_p = mgh + mgh = 2mgh$.

Приравниваем начальную энергию и энергию на высоте $\text{h}$:

$\frac{mv_0^2}{2} = 2mgh$

Масса $\text{m}$ сокращается:

$\frac{v_0^2}{2} = 2gh$

Выразим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_0^2}{4g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(16 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10 \text{ м/с²}} = \frac{256}{40} = 6,4$ м

Ответ: На высоте 6,4 м кинетическая энергия мяча будет равна его потенциальной энергии.

4. Самолет массой 2 т летит со скоростью 50 м/с. На высоте 420 м он переходит на снижение (при выключенном двигателе) и совершает посадку, имея скорость 30 м/с. Определите работу силы сопротивления воздуха во время планирующего полета.

Дано:

Масса самолета, $m = 2$ т

Начальная скорость, $v_1 = 50$ м/с

Начальная высота, $h_1 = 420$ м

Конечная скорость, $v_2 = 30$ м/с

Конечная высота, $h_2 = 0$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 2000$ кг

Найти:

Работу силы сопротивления воздуха, $A_{сопр}$ - ?

Решение:

Работа неконсервативных сил (в данном случае, силы сопротивления воздуха) равна изменению полной механической энергии системы.

$A_{сопр} = \Delta E = E_2 - E_1$

Полная механическая энергия $\text{E}$ складывается из кинетической ($E_k = \frac{mv^2}{2}$) и потенциальной ($E_p = mgh$) энергий.

Начальная полная энергия (на высоте $h_1$):

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1$

Конечная полная энергия (на земле, $h_2=0$):

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_2^2}{2} + 0 = \frac{mv_2^2}{2}$

Тогда работа силы сопротивления:

$A_{сопр} = \frac{mv_2^2}{2} - (\frac{mv_1^2}{2} + mgh_1) = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2) - mgh_1$

Подставим числовые значения:

$A_{сопр} = \frac{2000}{2}(30^2 - 50^2) - 2000 \cdot 10 \cdot 420 = 1000(900 - 2500) - 8400000$

$A_{сопр} = 1000(-1600) - 8400000 = -1600000 - 8400000 = -10000000$ Дж

$A_{сопр} = -10$ МДж

Ответ: Работа силы сопротивления воздуха равна -10 МДж.

5. Падающим с высоты 1,2 м грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на 2 см. Определите среднюю силу удара, если масса груза 500 кг, а масса сваи много меньше массы груза.

Дано:

Масса груза, $m = 500$ кг

Высота падения груза, $h = 1,2$ м

Глубина забивания сваи, $s = 2$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$s = 0,02$ м

Найти:

Среднюю силу удара (силу сопротивления), $F_{ср}$ - ?

Решение:

Применим теорему об изменении механической энергии для всего процесса движения груза (от начала падения до полной остановки). Изменение полной механической энергии груза равно работе неконсервативных сил (силы сопротивления грунта).

$A_{сопр} = \Delta E = E_{кон} - E_{нач}$

Начальное состояние: груз на высоте $(h+s)$ над конечным положением, скорость равна нулю. $E_{нач} = E_{p} = mg(h+s)$.

Конечное состояние: груз и свая остановились. $E_{кон} = 0$.

Работа силы сопротивления грунта $A_{сопр}$ совершается на пути $\text{s}$ и равна $A_{сопр} = -F_{ср} \cdot s$ (знак минус, так как сила сопротивления направлена против перемещения).

Приравниваем:

$-F_{ср} \cdot s = 0 - mg(h+s)$

$F_{ср} \cdot s = mg(h+s)$

Отсюда выражаем среднюю силу сопротивления:

$F_{ср} = \frac{mg(h+s)}{s}$

Подставим числовые значения:

$F_{ср} = \frac{500 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot (1,2 \text{ м} + 0,02 \text{ м})}{0,02 \text{ м}} = \frac{5000 \cdot 1,22}{0,02} = \frac{6100}{0,02} = 305000$ Н

$F_{ср} = 305$ кН

Ответ: Средняя сила удара равна 305 кН.

6. На гладком горизонтальном столе покоится шар. С ним сталкивается другой такой же шар. Удар абсолютно упругий и нецентральный. Под каким углом разлетятся шары?

Решение:

Рассмотрим систему из двух шаров одинаковой массы $\text{m}$. Пусть первый шар (налетающий) имеет начальную скорость $\vec{v}_1$, а второй шар (покоящийся) имеет начальную скорость $\vec{v}_2 = 0$. После нецентрального упругого соударения их скорости станут $\vec{v}'_1$ и $\vec{v}'_2$.

Поскольку удар упругий, для системы выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса (в векторной форме):

$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = m\vec{v}'_1 + m\vec{v}'_2$

Так как $\vec{v}_2 = 0$ и массы одинаковы, можно сократить $\text{m}$:

$\vec{v}_1 = \vec{v}'_1 + \vec{v}'_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии (в скалярной форме):

$\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m(v'_1)^2}{2} + \frac{m(v'_2)^2}{2}$

Так как $v_2 = 0$ и массы одинаковы, можно сократить $\frac{m}{2}$:

$v_1^2 = (v'_1)^2 + (v'_2)^2$ (2)

Уравнение (1) — это векторное равенство, а уравнение (2) связывает квадраты модулей (длин) этих векторов. Возведем векторное уравнение (1) скалярно в квадрат (то есть умножим скалярно само на себя):

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = (\vec{v}'_1 + \vec{v}'_2) \cdot (\vec{v}'_1 + \vec{v}'_2)$

$v_1^2 = (\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_1) + 2(\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_2) + (\vec{v}'_2 \cdot \vec{v}'_2)$

$v_1^2 = (v'_1)^2 + 2(\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_2) + (v'_2)^2$ (3)

Теперь сравним уравнения (2) и (3). Левые части у них одинаковы, значит, правые тоже равны:

$(v'_1)^2 + (v'_2)^2 = (v'_1)^2 + 2(\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_2) + (v'_2)^2$

Отсюда следует, что $2(\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_2) = 0$, или

$\vec{v}'_1 \cdot \vec{v}'_2 = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы перпендикулярны друг другу (при условии, что векторы не нулевые, что и происходит при нецентральном ударе). Следовательно, угол между направлениями скоростей шаров после столкновения составляет 90°.

Ответ: Шары разлетятся под углом 90° друг к другу.