Вариант 1, страница 109 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-6. Закон сохранения импульса. Контрольные работы - страница 109.

Условие.

КР-6. Закон сохранения импульса

Вариант 1

I

1. Два кубика массами 1 кг и 3 кг скользят навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 2 м/с соответственно. Каков суммарный импульс кубиков после их абсолютно неупругого удара?

2. Рассчитайте скорость, которую будет иметь ракета, стартовая масса которой 1 т, если в результате горения топлива выброшено 200 кг газов со скоростью 2 км/с.

II

3. Две тележки движутся навстречу друг другу со скоростью 4 м/с каждая. После столкновения вторая тележка получила скорость в направлении движения первой тележки, равную 6 м/с, а первая остановилась. Рассчитайте массу первой тележки, если масса второй 2 кг.

4. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка массами 1 кг и 1,5 кг. Большой осколок после взрыва летит в том же направлении и его скорость 25 м/с. Определите направление движения и скорость меньшего осколка.

III

5. Человек, находящийся в неподвижно стоящей на озере лодке, переходит с носа на корму. Рассчитайте расстояние, на которое переместится лодка, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг, а длина лодки 3 м.

6. При взрыве камень разрывается на три части. Первый осколок массой 1 кг летит горизонтально со скоростью 12 м/с, а второй осколок массой 2 кг — со скоростью 8 м/с перпендикулярно направлению движения первого куска. Третий осколок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова масса третьего осколка и в каком направлении по отношению к горизонту он летит?

Решение.

1. Два кубика массами 1 кг и 3 кг скользят навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 2 м/с соответственно. Каков суммарный импульс кубиков после их абсолютно неупругого удара?

Решение:

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным. В данном случае система состоит из двух кубиков. Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения. Таким образом, чтобы найти суммарный импульс после удара, достаточно найти суммарный импульс до удара.
Выберем ось $Ox$ направленную в сторону движения первого кубика. Тогда его скорость $v_1 = 3$ м/с, а скорость второго кубика, движущегося навстречу, будет отрицательной: $v_2 = -2$ м/с.
Суммарный импульс системы до столкновения равен векторной сумме импульсов кубиков:
$ \vec{P}_{до} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} $
В проекции на ось $Ox$:
$ P_{до, x} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 1 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} + 3 \text{ кг} \cdot (-2 \text{ м/с}) = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = -3 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
По закону сохранения импульса, суммарный импульс после удара $P_{после, x}$ равен суммарному импульсу до удара:
$ P_{после, x} = P_{до, x} = -3 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
Знак «минус» указывает, что суммарный импульс направлен в сторону первоначального движения второго (более массивного) кубика. Модуль импульса равен $3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Суммарный импульс кубиков после удара равен $3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и направлен в сторону первоначального движения кубика массой 3 кг.

2. Рассчитайте скорость, которую будет иметь ракета, стартовая масса которой 1 т, если в результате горения топлива выброшено 200 кг газов со скоростью 2 км/с.

Дано:
$ M = 1 \text{ т} $
$ m_г = 200 \text{ кг} $
$ v_г = 2 \text{ км/с} $

Перевод в систему СИ:
$ M = 1000 \text{ кг} $
$ v_г = 2000 \text{ м/с} $

Найти:

$v_р$ - ?

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "ракета-газы". Изначально ракета с топливом покоится, поэтому начальный импульс системы равен нулю: $P_{начальный} = 0$.
После выброса газов ракета приобретает скорость $v_р$, а газы движутся в противоположном направлении со скоростью $v_г$. Масса ракеты после выброса газов становится равной $m_р = M - m_г$.
Конечный импульс системы равен сумме импульсов ракеты и газов:
$ \vec{P}_{конечный} = m_р \vec{v_р} + m_г \vec{v_г} $
Согласно закону сохранения импульса, $ \vec{P}_{начальный} = \vec{P}_{конечный} $, следовательно $ m_р \vec{v_р} + m_г \vec{v_г} = 0 $.
Спроецируем уравнение на ось, направленную в сторону движения ракеты. Скорость ракеты будет $v_р$, а скорость газов $-v_г$.
$ m_р v_р - m_г v_г = 0 $
$ (M - m_г) v_р = m_г v_г $
Выразим скорость ракеты $v_р$:
$ v_р = \frac{m_г v_г}{M - m_г} $
Подставим числовые значения:
$ v_р = \frac{200 \text{ кг} \cdot 2000 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг} - 200 \text{ кг}} = \frac{400000}{800} \text{ м/с} = 500 \text{ м/с} $

Ответ: Скорость ракеты будет равна $500 \text{ м/с}$.

3. Две тележки движутся навстречу друг другу со скоростью 4 м/с каждая. После столкновения вторая тележка получила скорость в направлении движения первой тележки, равную 6 м/с, а первая остановилась. Рассчитайте массу первой тележки, если масса второй 2 кг.

Дано:
$ v_1 = 4 \text{ м/с} $
$ v_2 = 4 \text{ м/с} $ (навстречу)
$ v'_1 = 0 \text{ м/с} $
$ v'_2 = 6 \text{ м/с} $
$ m_2 = 2 \text{ кг} $

Найти:

$m_1$ - ?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для системы из двух тележек. Направим ось $Ox$ в сторону первоначального движения первой тележки. Тогда ее начальная скорость $v_1 = 4$ м/с, а начальная скорость второй тележки $v_2 = -4$ м/с. После столкновения первая тележка остановилась ($v'_1 = 0$), а вторая стала двигаться в первоначальном направлении первой ($v'_2 = 6$ м/с).
Закон сохранения импульса в векторной форме: $ m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v'_1} + m_2 \vec{v'_2} $.
В проекции на ось $Ox$:
$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 $
Подставим известные значения:
$ m_1 \cdot 4 + 2 \cdot (-4) = m_1 \cdot 0 + 2 \cdot 6 $
$ 4m_1 - 8 = 12 $
$ 4m_1 = 12 + 8 $
$ 4m_1 = 20 $
$ m_1 = \frac{20}{4} = 5 \text{ кг} $

Ответ: Масса первой тележки равна $5 \text{ кг}$.

4. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка массами 1 кг и 1,5 кг. Больший осколок после взрыва летит в том же направлении и его скорость 25 м/с. Определите направление движения и скорость меньшего осколка.

Дано:
$ v = 10 \text{ м/с} $
$ m_1 = 1 \text{ кг} $
$ m_2 = 1,5 \text{ кг} $
$ v'_2 = 25 \text{ м/с} $

Найти:

$v'_1$ - ?, направление движения меньшего осколка - ?

Решение:

Масса гранаты до взрыва $M = m_1 + m_2 = 1 + 1,5 = 2,5$ кг. Воспользуемся законом сохранения импульса. Выберем ось $Ox$, направленную в сторону движения гранаты.
Импульс системы до взрыва: $ P_{до} = Mv = (m_1 + m_2)v $.
Импульс системы после взрыва: $ P_{после} = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 $. По закону сохранения импульса $ P_{до} = P_{после} $: $ (m_1 + m_2)v = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 $
Выразим скорость первого (меньшего) осколка $v'_1$:
$ m_1 v'_1 = (m_1 + m_2)v - m_2 v'_2 $
$ v'_1 = \frac{(m_1 + m_2)v - m_2 v'_2}{m_1} $
Подставим числовые значения:
$ v'_1 = \frac{(1 + 1,5) \cdot 10 - 1,5 \cdot 25}{1} = \frac{2,5 \cdot 10 - 37,5}{1} = 25 - 37,5 = -12,5 \text{ м/с} $
Знак «минус» показывает, что меньший осколок движется в направлении, противоположном первоначальному движению гранаты. Его скорость (модуль скорости) равна $12,5$ м/с.

Ответ: Скорость меньшего осколка равна $12,5 \text{ м/с}$, он движется в направлении, противоположном первоначальному движению гранаты.

5. Человек, находящийся в неподвижно стоящей на озере лодке, переходит с носа на корму. Рассчитайте расстояние, на которое переместится лодка, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг, а длина лодки 3 м.

Дано:
$ m_ч = 60 \text{ кг} $
$ m_л = 120 \text{ кг} $
$ L = 3 \text{ м} $

Найти:

$S_л$ - ?

Решение:

Систему "человек-лодка" можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) уравновешены, а сопротивлением воды можно пренебречь. Начальный импульс системы равен нулю, так как лодка и человек покоились. Следовательно, центр масс системы "человек-лодка" остается неподвижным.
Пусть $S_л$ - перемещение лодки относительно берега, а $S_ч$ - перемещение человека относительно берега. Перемещение человека относительно лодки равно длине лодки $\text{L}$.
Выберем ось $Ox$, направленную от кормы к носу. Тогда перемещение человека относительно лодки равно $-L$. Перемещение человека относительно берега $S_ч$ связано с перемещением лодки $S_л$ и перемещением человека относительно лодки $S_{ч/л}$ соотношением: $S_ч = S_л + S_{ч/л} = S_л - L$.
Так как центр масс системы не смещается, то выполняется условие:
$ m_ч S_ч + m_л S_л = 0 $
Подставим выражение для $S_ч$:
$ m_ч (S_л - L) + m_л S_л = 0 $
$ m_ч S_л - m_ч L + m_л S_л = 0 $
$ (m_ч + m_л) S_л = m_ч L $
$ S_л = \frac{m_ч L}{m_ч + m_л} $
Подставим числовые значения:
$ S_л = \frac{60 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м}}{60 \text{ кг} + 120 \text{ кг}} = \frac{180}{180} \text{ м} = 1 \text{ м} $
Лодка переместится в направлении, противоположном движению человека (то есть к носу).

Ответ: Лодка переместится на расстояние $1 \text{ м}$.

6. При взрыве камень разрывается на три части. Первый осколок массой 1 кг летит горизонтально со скоростью 12 м/с, а второй осколок массой 2 кг — со скоростью 8 м/с перпендикулярно направлению движения первого куска. Третий осколок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова масса третьего осколка и в каком направлении по отношению к горизонту он летит?

Дано:
$ m_1 = 1 \text{ кг} $
$ v_1 = 12 \text{ м/с} $
$ m_2 = 2 \text{ кг} $
$ v_2 = 8 \text{ м/с} $
$ v_3 = 40 \text{ м/с} $
$ \vec{v_1} \perp \vec{v_2} $

Найти:

$m_3$ - ?, направление $v_3$ - ?

Решение:

Предположим, что до взрыва камень покоился, значит, его начальный импульс был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс осколков после взрыва также должен быть равен нулю.
$ \vec{p_1} + \vec{p_2} + \vec{p_3} = 0 $
Отсюда импульс третьего осколка $ \vec{p_3} = -(\vec{p_1} + \vec{p_2}) $.
Введем систему координат. Направим ось $Ox$ по направлению движения первого осколка, а ось $Oy$ — по направлению движения второго осколка. Так как оба осколка летят горизонтально, то и третий осколок будет лететь горизонтально, чтобы сохранить нулевой импульс в вертикальном направлении.
Найдем проекции импульсов на оси:
$ p_{1x} = m_1 v_1 = 1 \cdot 12 = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $, $ p_{1y} = 0 $
$ p_{2x} = 0 $, $ p_{2y} = m_2 v_2 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
Проекции импульса третьего осколка:
$ p_{3x} = -(p_{1x} + p_{2x}) = -(12 + 0) = -12 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
$ p_{3y} = -(p_{1y} + p_{2y}) = -(0 + 16) = -16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
Найдем модуль импульса третьего осколка по теореме Пифагора:
$ p_3 = \sqrt{p_{3x}^2 + p_{3y}^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с} $
Зная импульс и скорость третьего осколка, найдем его массу:
$ m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{40 \text{ м/с}} = 0,5 \text{ кг} $
Найдем направление движения. Угол $\alpha$ вектора импульса $ \vec{p_3} $ с отрицательным направлением оси $Ox$ можно найти из тангенса:
$ \tan{\alpha} = \frac{|p_{3y}|}{|p_{3x}|} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $
$ \alpha = \arctan{\frac{4}{3}} \approx 53.1^\circ $
Таким образом, третий осколок летит горизонтально под углом $180^\circ + 53.1^\circ = 233.1^\circ$ к направлению движения первого осколка.

Ответ: Масса третьего осколка $0,5 \text{ кг}$. Он летит горизонтально под углом примерно $233.1^\circ$ к направлению движения первого осколка (или под углом $53.1^\circ$ к направлению, противоположному движению первого осколка).