Вариант 3, страница 107 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-5. Применение законов Ньютона. Контрольные работы - страница 107.

Условие.

Вариант 3

I

1. Брусок начинает соскальзывать с наклонной плоскости, имеющей угол наклона $30^{\circ}$. Найдите ускорение, с которым движется тело. Трение не учитывать.

2. Определите массу тела, которое в лифте, движущемся вниз с ускорением $5\,м/с^{2}$, имеет вес, равный $100\,Н$.

II

3. Груз массой $50\,кг$ находится на наклонной плоскости длиной $5\,м$ и высотой $3\,м$. Найдите силу, необходимую для перемещения груза вверх по наклонной плоскости с ускорением $1\,м/с^{2}$, зная, что коэффициент трения равен $0,2$.

4. Велосипедист массой $80\,кг$ двигается по аттракциону «мертвая петля» со скоростью $54\,км/ч$. Радиус петли равен $4,5\,м$. Найдите вес велосипедиста в верхней точке петли.

III

5. Тело брошено вверх по наклонной плоскости с углом $28^{\circ}$. Найдите время подъема тела до остановок и время спуска, если начальная скорость тела равна $13\,м/с$, а коэффициент трения — $0,2$.

6. Определите путь, пройденный телом $m_{1}$ за $0,2\,с$, если коэффициент трения его на наклонной плоскости равен $0,1$ (рис. 62), $m_{1} = 1\,кг$, $m_{2} = 6\,кг$, $\alpha = 30^{\circ}$.

Рис. 62

Решение.

1. Брусок начинает соскальзывать с наклонной плоскости, имеющей угол наклона 30°. Найдите ускорение, с которым движется тело. Трение не учитывать.

Дано:

$\alpha = 30°$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

На брусок, соскальзывающий с наклонной плоскости без трения, действуют сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Ускорение телу придает составляющая силы тяжести, направленная вдоль наклонной плоскости.

Согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости, имеем:

$ma = mg \sin\alpha$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для ускорения:

$a = g \sin\alpha$

Подставим числовые значения:

$a = 9.8 \, м/с^2 \cdot \sin(30°) = 9.8 \cdot 0.5 = 4.9 \, м/с^2$

Ответ: $4.9 \, м/с^2$.

2. Определите массу тела, которое в лифте, движущемся вниз с ускорением 5 м/с², имеет вес, равный 100 Н.

Дано:

$a = 5 \, м/с^2$

$P = 100 \, Н$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$\text{m}$ - ?

Решение:

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело давит на опору. Когда лифт движется с ускорением $\text{a}$ вниз, вес тела уменьшается. Второй закон Ньютона для тела в лифте (ось направлена вниз):

$mg - N = ma$

где $\text{N}$ — сила реакции опоры, по третьему закону Ньютона равная весу тела $\text{P}$.

$mg - P = ma$

Выразим массу $\text{m}$ из этого уравнения:

$mg - ma = P$

$m(g - a) = P$

$m = \frac{P}{g - a}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{100}{9.8 - 5} = \frac{100}{4.8} \approx 20.83 \, кг$

Ответ: $\approx 20.83 \, кг$.

3. Груз массой 50 кг находится на наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м. Найдите силу, необходимую для перемещения груза вверх по наклонной плоскости с ускорением 1 м/с², зная, что коэффициент трения равен 0,2.

Дано:

$m = 50 \, кг$

$L = 5 \, м$

$h = 3 \, м$

$a = 1 \, м/с^2$

$\mu = 0.2$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

Сначала определим синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$.

$\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекциях на оси, где ось $Ox$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha = 0 \Rightarrow N = mg \cos\alpha$

Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

Ось $Ox$: $F - mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$

Отсюда выражаем искомую силу $\text{F}$:

$F = ma + mg \sin\alpha + F_{тр} = ma + mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = m(a + g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha))$

Подставляем значения:

$F = 50(1 + 9.8(0.6 + 0.2 \cdot 0.8)) = 50(1 + 9.8(0.6 + 0.16)) = 50(1 + 9.8 \cdot 0.76) = 50(1 + 7.448) = 50 \cdot 8.448 = 422.4 \, Н$

Ответ: $422.4 \, Н$.

4. Велосипедист массой 80 кг двигается по аттракциону «мертвая петля» со скоростью 54 км/ч. Радиус петли равен 4,5 м. Найдите вес велосипедиста в верхней точке петли.

Дано:

$m = 80 \, кг$

$v = 54 \, км/ч$

$R = 4.5 \, м$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Перевод в СИ:

$v = 54 \frac{км}{ч} = 54 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 15 \, м/с$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

В верхней точке петли на велосипедиста действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $\text{N}$, обе направлены вертикально вниз к центру окружности. Их сумма сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Второй закон Ньютона:

$N + mg = m a_ц = m \frac{v^2}{R}$

Вес велосипедиста $\text{P}$ в этой точке равен силе реакции опоры $\text{N}$.

$P = N = m \frac{v^2}{R} - mg = m(\frac{v^2}{R} - g)$

Подставим числовые значения:

$P = 80 \left( \frac{15^2}{4.5} - 9.8 \right) = 80 \left( \frac{225}{4.5} - 9.8 \right) = 80 (50 - 9.8) = 80 \cdot 40.2 = 3216 \, Н$

Ответ: $3216 \, Н$.

5. Тело брошено вверх по наклонной плоскости с углом 28°. Найдите время подъема тела до остановки и время спуска, если начальная скорость тела равна 13 м/с, а коэффициент трения — 0,2.

Дано:

$\alpha = 28°$

$v_0 = 13 \, м/с$

$\mu = 0.2$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$t_{подъема}$ - ?, $t_{спуска}$ - ?

Решение:

Используем значения: $\sin(28°) \approx 0.4695$, $\cos(28°) \approx 0.8829$.

1. Подъем:

При движении вверх сила трения $F_{тр}$ и проекция силы тяжести $mg \sin\alpha$ направлены вниз. Ускорение (замедление) тела $a_{подъема}$:

$ma_{подъема} = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha \Rightarrow a_{подъема} = g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

$a_{подъема} = 9.8(0.4695 + 0.2 \cdot 0.8829) \approx 9.8(0.6461) \approx 6.33 \, м/с^2$

Время подъема до остановки ($v=0$): $t_{подъема} = \frac{v_0}{a_{подъема}} = \frac{13}{6.33} \approx 2.05 \, с$

2. Спуск:

При движении вниз сила трения направлена вверх. Ускорение тела $a_{спуска}$:

$ma_{спуска} = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha \Rightarrow a_{спуска} = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

$a_{спуска} = 9.8(0.4695 - 0.2 \cdot 0.8829) \approx 9.8(0.2929) \approx 2.87 \, м/с^2$

Путь, пройденный вверх: $S = \frac{v_0^2}{2a_{подъема}} = \frac{13^2}{2 \cdot 6.33} = \frac{169}{12.66} \approx 13.35 \, м$

Время спуска с этого пути: $S = \frac{a_{спуска} t_{спуска}^2}{2} \Rightarrow t_{спуска} = \sqrt{\frac{2S}{a_{спуска}}}$

$t_{спуска} = \sqrt{\frac{2 \cdot 13.35}{2.87}} \approx \sqrt{9.303} \approx 3.05 \, с$

Ответ: время подъема $\approx 2.05 \, с$, время спуска $\approx 3.05 \, с$.

6. Определите путь, пройденный телом m₁ за 0,2 с, если коэффициент трения его на наклонной плоскости равен 0,1 (рис. 62), m₁ = 1 кг, m₂ = 6 кг, α = 30°.

Дано:

$m_1 = 1 \, кг$

$m_2 = 6 \, кг$

$\alpha = 30°$

$\mu = 0.1$

$t = 0.2 \, с$

$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$s_1$ - ?

Решение:

Так как $m_2$ значительно тяжелее $m_1$, предположим, что $m_2$ движется вниз, а $m_1$ — вверх по наклонной плоскости. Тогда сила трения $F_{тр}$ для $m_1$ направлена вниз по плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (ускорение системы $\text{a}$):

Для $m_2$: $m_2g - T = m_2a$

Для $m_1$: $T - m_1g \sin\alpha - F_{тр} = m_1a$

Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu m_1g \cos\alpha$

Сложим уравнения, чтобы исключить силу натяжения нити $\text{T}$:

$m_2g - m_1g \sin\alpha - \mu m_1g \cos\alpha = (m_1 + m_2)a$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{g(m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu \cos\alpha))}{m_1 + m_2}$

Подставим значения: $\sin(30°) = 0.5$, $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$a = \frac{9.8(6 - 1(0.5 + 0.1 \cdot 0.866))}{1 + 6} = \frac{9.8(6 - 0.5866)}{7} = \frac{9.8 \cdot 5.4134}{7} \approx 7.58 \, м/с^2$

Поскольку система начинает движение из состояния покоя, путь, пройденный телом $m_1$, равен:

$s_1 = \frac{at^2}{2}$

$s_1 = \frac{7.58 \cdot (0.2)^2}{2} = \frac{7.58 \cdot 0.04}{2} = 0.1516 \, м$

Ответ: $\approx 0.15 \, м$.