Вариант 1, страница 113 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-7. Закон сохранения энергии. Контрольные работы - страница 113.

Условие.

КР-7. Закон сохранения энергии

Вариант 1

I

1. Автомобиль массой 5 т движется со скоростью 72 км/ч. Какая работа должна быть совершена для его остановки?

2. Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200 Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли может подняться тело, если его масса равна 500 г.

II

3. Камень массой 20 г, выпущенный вертикально вверх из рогатки, резиновый жгут которой был растянут на 20 см, поднялся на высоту 40 м. Найдите жесткость жгута. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Пуля массой 10 г влетает в доску толщиной 5 см со скоростью 800 м/с и вылетает из нее со скоростью 100 м/с. Какова сила сопротивления, действующая на пулю внутри доски?

III

5. Рассчитайте среднюю силу сопротивления почвы, если тело массой 2 кг, брошенное с высоты 250 м вертикально вниз с начальной скоростью 20 м/с, погрузилось в землю на глубину 1,5 м.

6. С горки высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтально путь 35 м от основания горки. Определите коэффициент трения, считая его одинаковым на всем пути.

Решение.

1. Дано

$m = 5$ т
$v = 72$ км/ч
$v_к = 0$ м/с

$m = 5 \cdot 1000 = 5000$ кг
$v = 72 \cdot \frac{1000}{3600} = 20$ м/с

Найти:

$\text{A}$

Решение

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершенная над телом, равна изменению его кинетической энергии. Для остановки автомобиля необходимо совершить работу, равную его начальной кинетической энергии, но с противоположным знаком. Величина этой работы будет равна начальной кинетической энергии.

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Так как автомобиль останавливается, его конечная кинетическая энергия $E_{k2} = 0$.

Начальная кинетическая энергия $E_{k1}$ вычисляется по формуле:

$E_{k1} = \frac{m v^2}{2}$

Работа, которую необходимо совершить, будет равна:

$A = 0 - \frac{m v^2}{2} = -\frac{m v^2}{2}$

Знак "минус" указывает на то, что сила, совершающая работу (сила трения, торможения), направлена против движения. Величина работы (то, что спрашивается в задаче) будет:

$|A| = \frac{5000 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{5000 \cdot 400}{2} = 1 000 000 \text{ Дж} = 1000 \text{ кДж} = 1 \text{ МДж}$

Ответ: $1000$ кДж.

2. Дано

$E_k = 200$ Дж
$m = 500$ г

$m = 0.5$ кг

Найти:

$\text{h}$

Решение

Согласно закону сохранения энергии, при подъеме тела его начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию. На максимальной высоте вся кинетическая энергия превратится в потенциальную (скорость станет равна нулю). Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$E_k = E_p$

Потенциальная энергия тела на высоте $\text{h}$ вычисляется по формуле:

$E_p = m g h$

Приравниваем энергии и выражаем высоту $\text{h}$:

$E_k = m g h \Rightarrow h = \frac{E_k}{m g}$

Подставляем числовые значения:

$h = \frac{200 \text{ Дж}}{0.5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{200}{5} = 40 \text{ м}$

Ответ: $40$ м.

3. Дано

$m = 20$ г
$x = 20$ см
$h = 40$ м

$m = 0.02$ кг
$x = 0.2$ м

Найти:

$\text{k}$

Решение

По закону сохранения энергии, потенциальная энергия растянутого жгута полностью переходит в потенциальную энергию камня на максимальной высоте. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (жгута):

$E_{p,жгут} = \frac{k x^2}{2}$

Потенциальная энергия камня на высоте $\text{h}$:

$E_{p,камень} = m g h$

Приравниваем энергии и выражаем жесткость $\text{k}$:

$\frac{k x^2}{2} = m g h \Rightarrow k = \frac{2 m g h}{x^2}$

Подставляем значения:

$k = \frac{2 \cdot 0.02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 40 \text{ м}}{(0.2 \text{ м})^2} = \frac{16}{0.04} = 400 \text{ Н/м}$

Ответ: $400$ Н/м.

4. Дано

$m = 10$ г
$d = 5$ см
$v_1 = 800$ м/с
$v_2 = 100$ м/с

$m = 0.01$ кг
$d = 0.05$ м

Найти:

$F_{сопр}$

Решение

Работа силы сопротивления, действующей на пулю, равна изменению ее кинетической энергии (согласно теореме о кинетической энергии).

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Работа силы сопротивления: $A = -F_{сопр} \cdot d$ (знак "минус", так как сила направлена против движения).

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2}$

Приравниваем выражения:

$-F_{сопр} \cdot d = \frac{m (v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Выражаем силу сопротивления:

$F_{сопр} = -\frac{m (v_2^2 - v_1^2)}{2d} = \frac{m (v_1^2 - v_2^2)}{2d}$

Подставляем значения:

$F_{сопр} = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot ((800 \text{ м/с})^2 - (100 \text{ м/с})^2)}{2 \cdot 0.05 \text{ м}} = \frac{0.01 \cdot (640000 - 10000)}{0.1} = \frac{0.01 \cdot 630000}{0.1} = \frac{6300}{0.1} = 63000 \text{ Н} = 63 \text{ кН}$

Ответ: $63$ кН.

5. Дано

$m = 2$ кг
$h_1 = 250$ м
$v_1 = 20$ м/с
$d = 1.5$ м
$v_2 = 0$ м/с

Найти:

$F_{сопр}$

Решение

Используем закон сохранения энергии в общем виде: изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы сопротивления почвы).

$E_{полн. нач} + A_{сопр} = E_{полн. кон}$

За нулевой уровень потенциальной энергии примем конечное положение тела (на глубине 1.5 м в земле).

Начальная полная механическая энергия тела (в момент броска) складывается из его кинетической и потенциальной энергии. Начальная высота относительно конечного положения равна $h = h_1 + d$.

$E_{полн. нач} = \frac{m v_1^2}{2} + m g (h_1 + d)$

Конечная полная механическая энергия равна нулю, так как тело остановилось ($v_2 = 0$) на нулевом уровне высоты ($h=0$).

$E_{полн. кон} = 0$

Работа силы сопротивления почвы: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot d$.

Подставляем все в исходное уравнение (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$):

$\frac{m v_1^2}{2} + m g (h_1 + d) - F_{сопр} \cdot d = 0$

Выражаем $F_{сопр}$:

$F_{сопр} \cdot d = \frac{m v_1^2}{2} + m g (h_1 + d)$

$F_{сопр} = \frac{\frac{m v_1^2}{2} + m g (h_1 + d)}{d}$

$F_{сопр} = \frac{\frac{2 \cdot 20^2}{2} + 2 \cdot 10 \cdot (250 + 1.5)}{1.5} = \frac{400 + 20 \cdot 251.5}{1.5} = \frac{400 + 5030}{1.5} = \frac{5430}{1.5} = 3620 \text{ Н}$

Ответ: $3620$ Н.

6. Дано

$h = 2$ м
$b = 5$ м
$S_2 = 35$ м

Найти:

$\mu$

Решение

По закону сохранения энергии, начальная потенциальная энергия санок $E_p$ полностью расходуется на работу силы трения $A_{тр}$ на наклонном и горизонтальном участках.

$E_p = A_{тр}$

Начальная потенциальная энергия: $E_p = m g h$.

Работа силы трения состоит из двух частей: на спуске ($A_{тр1}$) и на горизонтальном участке ($A_{тр2}$).

$A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2}$

Работа трения на горизонтальном участке: $A_{тр2} = F_{тр2} \cdot S_2 = (\mu N_2) \cdot S_2 = \mu m g S_2$.

Работа трения на спуске. Длина спуска $S_1 = \sqrt{h^2 + b^2}$. Сила нормальной реакции на спуске $N_1 = mg \cos\alpha$, где $\cos\alpha = \frac{b}{S_1} = \frac{b}{\sqrt{h^2 + b^2}}$.

$A_{тр1} = F_{тр1} \cdot S_1 = (\mu N_1) \cdot S_1 = (\mu mg \cos\alpha) \cdot S_1 = \mu mg \frac{b}{S_1} S_1 = \mu m g b$.

Суммарная работа трения: $A_{тр} = \mu m g b + \mu m g S_2 = \mu m g (b + S_2)$.

Приравниваем начальную энергию и работу трения:

$m g h = \mu m g (b + S_2)$

Сокращаем $mg$:

$h = \mu (b + S_2)$

Выражаем коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{h}{b + S_2}$

Подставляем значения:

$\mu = \frac{2 \text{ м}}{5 \text{ м} + 35 \text{ м}} = \frac{2}{40} = 0.05$

Ответ: $0.05$.