Вариант 2, страница 114 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-7. Закон сохранения энергии. Контрольные работы - страница 114.

Условие.

Вариант 2

I

1. Какую работу совершает электровоз при увеличении скорости поезда массой 3000 т от 36 до 54 км/ч?

2. Башенный кран поднимает бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м. Чему равна работа силы тяжести, действующей на плиту?

II

3. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить при подъеме тела массой 500 кг на высоту 4 м, если его скорость при этом увеличилась от нуля до 2 м/с.

4. Определите скорость тела, брошенного со скоростью 15 м/с под углом к горизонту, на высоте 10 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

III

5. Рассчитайте, во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза меньше массы атома гелия.

6. Брусок массой 1 кг соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной плоскости высотой 1 м и останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы по тому же пути втащить брусок на вершину наклонной плоскости?

Решение.

1. Какую работу совершает электровоз при увеличении скорости поезда массой 3000 т от 36 до 54 км/ч?

Дано:

масса поезда $m = 3000 \, \text{т}$

начальная скорость $v_1 = 36 \, \text{км/ч}$

конечная скорость $v_2 = 54 \, \text{км/ч}$

Перевод в систему СИ:

$m = 3000 \cdot 1000 \, \text{кг} = 3 \cdot 10^6 \, \text{кг}$

$v_1 = 36 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 10 \, \text{м/с}$

$v_2 = 54 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 15 \, \text{м/с}$

Найти:

Работу $\text{A}$.

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая силой, равна изменению кинетической энергии тела:

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Тогда работа равна:

$A = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{3 \cdot 10^6 \, \text{кг} \cdot ((15 \, \text{м/с})^2 - (10 \, \text{м/с})^2)}{2} = \frac{3 \cdot 10^6 \cdot (225 - 100)}{2} = \frac{3 \cdot 10^6 \cdot 125}{2} = 1.5 \cdot 10^6 \cdot 125 = 187.5 \cdot 10^6 \, \text{Дж} = 187.5 \, \text{МДж}$

Ответ: $187.5 \, \text{МДж}$.

2. Башенный кран поднимает бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м. Чему равна работа силы тяжести, действующей на плиту?

Дано:

масса плиты $m = 2 \, \text{т}$

высота подъема $h = 15 \, \text{м}$

ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 2 \cdot 1000 \, \text{кг} = 2000 \, \text{кг}$

Найти:

Работу силы тяжести $A_g$.

Решение:

Работа силы тяжести вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos \alpha$, где $\text{F}$ - сила тяжести, $\text{s}$ - перемещение, $\alpha$ - угол между вектором силы и вектором перемещения.

Сила тяжести $F_g = mg$ направлена вертикально вниз. Перемещение $\text{h}$ направлено вертикально вверх. Следовательно, угол между ними $\alpha = 180^\circ$.

$\cos(180^\circ) = -1$.

Таким образом, работа силы тяжести:

$A_g = mg \cdot h \cdot \cos(180^\circ) = -mgh$

Подставим числовые значения:

$A_g = -2000 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 15 \, \text{м} = -300000 \, \text{Дж} = -300 \, \text{кДж}$

Ответ: $-300 \, \text{кДж}$.

3. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить при подъеме тела массой 500 кг на высоту 4 м, если его скорость при этом увеличилась от нуля до 2 м/с.

Дано:

масса тела $m = 500 \, \text{кг}$

высота подъема $h = 4 \, \text{м}$

начальная скорость $v_1 = 0 \, \text{м/с}$

конечная скорость $v_2 = 2 \, \text{м/с}$

ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Работу $\text{A}$.

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой, идет на изменение полной механической энергии тела. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной энергии $E = E_k + E_p$.

Изменение полной механической энергии равно $A = \Delta E = E_2 - E_1 = (E_{k2} + E_{p2}) - (E_{k1} + E_{p1})$.

Примем начальный уровень высоты за нулевой, тогда начальная потенциальная энергия $E_{p1} = 0$.

Начальная кинетическая энергия $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} = \frac{500 \cdot 0^2}{2} = 0$.

Конечная потенциальная энергия $E_{p2} = mgh$.

Конечная кинетическая энергия $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$.

Тогда искомая работа равна:

$A = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_2^2}{2} + mgh$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{500 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м/с})^2}{2} + 500 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 4 \, \text{м} = \frac{500 \cdot 4}{2} + 20000 = 1000 + 20000 = 21000 \, \text{Дж} = 21 \, \text{кДж}$

Ответ: $21 \, \text{кДж}$.

4. Определите скорость тела, брошенного со скоростью 15 м/с под углом к горизонту, на высоте 10 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

начальная скорость $v_0 = 15 \, \text{м/с}$

высота $h = 10 \, \text{м}$

ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Скорость тела на высоте $\text{h}$, $\text{v}$.

Решение:

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия тела сохраняется. Запишем закон сохранения энергии для начального момента (в точке броска) и для момента, когда тело находится на высоте $\text{h}$.

$E_0 = E_h$

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Примем начальную высоту за ноль, $h_0=0$. Тогда $mgh_0=0$.

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Сократим массу $\text{m}$ в каждом члене уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gh$

Выразим отсюда искомую скорость $\text{v}$:

$\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} - gh$

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{(15 \, \text{м/с})^2 - 2 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 10 \, \text{м}} = \sqrt{225 - 200} = \sqrt{25} = 5 \, \text{м/с}$

Ответ: $5 \, \text{м/с}$.

5. Рассчитайте, во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза меньше массы атома гелия.

Решение:

Рассмотрим центральное упругое столкновение двух тел. Обозначим массу атома гелия как $m_1$, а его начальную скорость как $v_1$. Массу атома водорода обозначим как $m_2$, его начальная скорость $v_2 = 0$, так как он неподвижен.

По условию задачи, $m_2 = \frac{m_1}{4}$.

При упругом столкновении выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Скорость первого тела (атома гелия) после столкновения в общем виде определяется формулой:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2$

Подставляя $v_2 = 0$, получаем:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

Теперь подставим соотношение масс $m_2 = m_1/4$:

$u_1 = \frac{m_1 - \frac{m_1}{4}}{m_1 + \frac{m_1}{4}} v_1 = \frac{\frac{3}{4}m_1}{\frac{5}{4}m_1} v_1 = \frac{3}{5} v_1$

Скорость атома гелия после столкновения стала равна $u_1 = \frac{3}{5} v_1$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась скорость, нужно разделить начальную скорость на конечную:

$\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_1}{\frac{3}{5}v_1} = \frac{5}{3}$

Ответ: Скорость уменьшится в $\frac{5}{3}$ раза (примерно в 1.67 раза).

6. Брусок массой 1 кг соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной плоскости высотой 1 м и останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы по тому же пути втащить брусок на вершину наклонной плоскости?

Дано:

масса бруска $m = 1 \, \text{кг}$

высота наклонной плоскости $h = 1 \, \text{м}$

начальная скорость при соскальзывании $v_{нач} = 0$

конечная скорость при соскальзывании $v_{кон} = 0$

ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Работу $\text{A}$ по втаскиванию бруска наверх.

Решение:

1. Рассмотрим движение бруска вниз.

Начальная полная механическая энергия бруска на вершине плоскости (кинетическая равна нулю, так как $v_{нач} = 0$):

$E_{нач} = E_p = mgh$

Конечная полная механическая энергия у основания (и кинетическая, и потенциальная равны нулю, так как брусок остановился на нулевой высоте):

$E_{кон} = 0$

Изменение механической энергии произошло за счет работы силы трения $A_{тр}$. По теореме об изменении полной механической энергии:

$A_{тр} = E_{кон} - E_{нач} = 0 - mgh = -mgh$

Работа силы трения отрицательна. Модуль работы силы трения $|A_{тр}| = mgh$.

2. Рассмотрим движение бруска вверх.

Чтобы втащить брусок на вершину, нужно совершить работу $\text{A}$ против силы тяжести и против силы трения. Предполагаем, что брусок перемещается медленно, без изменения кинетической энергии.

Работа против силы тяжести равна изменению потенциальной энергии:

$A_g = \Delta E_p = E_{p,кон} - E_{p,нач} = mgh - 0 = mgh$

Работа против силы трения $A'_{тр}$ равна по модулю работе силы трения при движении вниз, так как путь и сила трения те же самые.

$A'_{тр} = |A_{тр}| = mgh$

Полная работа, которую нужно совершить, равна сумме работы против силы тяжести и работы против силы трения:

$A = A_g + A'_{тр} = mgh + mgh = 2mgh$

Подставим числовые значения:

$A = 2 \cdot 1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 1 \, \text{м} = 20 \, \text{Дж}$

Ответ: $20 \, \text{Дж}$.