Вариант 1, страница 121 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-9. Термодинамика. Контрольные работы - страница 121.

Условие.

KP-9. Термодинамика

Вариант 1

I

1. Чему равна внутренняя энергия 5 моль одноатомного газа при температуре 27 °C?

2. При адиабатном расширении газ совершил работу 2 МДж. Чему равно изменение внутренней энергии газа? Увеличилась она или уменьшилась?

II

3. Для изобарного нагревания 800 моль газа на 500 К газу сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определите работу газа и изменение его внутренней энергии.

4. Газ в идеальном тепловом двигателе отдает холодильнику 60% теплоты, полученной от нагревателя. Какова температура нагревателя, если температура холодильника 200 К?

III

5. Какое количество теплоты необходимо сообщить одному молю идеального одноатомного газа, находящемуся в закрытом баллоне при температуре 27 °C, чтобы повысить его давление в 3 раза?

6. Температуры нагревателя и холодильника идеальной тепловой машины соответственно равны 117 °C и 27 °C. Количество теплоты, получаемое от нагревателя за 1 с, равно 60 кДж. Вычислите КПД машины, количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1 с, и мощность машины.

Решение.

1. Чему равна внутренняя энергия 5 моль одноатомного газа при температуре 27 °С?

Дано:
Количество вещества, $ν = 5$ моль
Температура, $t = 27$ °С
Газ одноатомный
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

Перевод в СИ:
Абсолютная температура, $T = t + 273 = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Внутренняя энергия, $\text{U}$ - ?

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа вычисляется по формуле:
$U = \frac{3}{2} \nu R T$
Подставим известные значения в формулу:
$U = \frac{3}{2} \cdot 5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 1.5 \cdot 5 \cdot 8.31 \cdot 300 = 18697.5 \text{ Дж} \approx 18.7 \text{ кДж}$

Ответ: внутренняя энергия газа равна 18,7 кДж.

2. При адиабатном расширении газ совершил работу 2 МДж. Чему равно изменение внутренней энергии газа? Увеличилась она или уменьшилась?

Дано:
Работа газа, $A = 2$ МДж
Процесс адиабатный ($Q=0$)

Перевод в СИ:
$A = 2 \cdot 10^6$ Дж

Найти:

Изменение внутренней энергии, $\Delta U$ - ?

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами:
$Q = \Delta U + A$
Для адиабатного процесса теплообмен с окружающей средой отсутствует, то есть $Q = 0$.
Тогда первый закон термодинамики для адиабатного процесса принимает вид:
$0 = \Delta U + A$
Отсюда изменение внутренней энергии равно:
$\Delta U = -A$
Подставим значение работы, совершенной газом:
$\Delta U = -2 \cdot 10^6 \text{ Дж} = -2 \text{ МДж}$
Так как изменение внутренней энергии отрицательно ($\Delta U < 0$), то внутренняя энергия газа уменьшилась.

Ответ: изменение внутренней энергии равно -2 МДж; внутренняя энергия уменьшилась.

3. Для изобарного нагревания 800 моль газа на 500 К газу сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определите работу газа и изменение его внутренней энергии.

Дано:
Количество вещества, $ν = 800$ моль
Изменение температуры, $\Delta T = 500$ К
Количество теплоты, $Q = 9.4$ МДж
Процесс изобарный ($p = const$)

Перевод в СИ:
$Q = 9.4 \cdot 10^6$ Дж

Найти:

Работа газа, $\text{A}$ - ?
Изменение внутренней энергии, $\Delta U$ - ?

Решение:

Работа газа при изобарном процессе вычисляется по формуле $A = p \Delta V$. Используя уравнение состояния идеального газа, эту формулу можно преобразовать к виду:
$A = \nu R \Delta T$
$A = 800 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 500 \text{ К} = 3324000 \text{ Дж} = 3.324 \text{ МДж}$
Изменение внутренней энергии найдем из первого закона термодинамики:
$Q = \Delta U + A$
$\Delta U = Q - A$
$\Delta U = 9.4 \cdot 10^6 \text{ Дж} - 3.324 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 6.076 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 6.076 \text{ МДж}$

Ответ: работа газа равна 3,324 МДж, изменение внутренней энергии равно 6,076 МДж.

4. Газ в идеальном тепловом двигателе отдает холодильнику 60% теплоты, полученной от нагревателя. Какова температура нагревателя, если температура холодильника 200 К?

Дано:
Двигатель идеальный
$Q_{хол} = 0.6 \cdot Q_{нагр}$
Температура холодильника, $T_{хол} = 200$ К

Найти:

Температура нагревателя, $T_{нагр}$ - ?

Решение:

Для идеальной тепловой машины (работающей по циклу Карно) отношение количества теплоты, отданного холодильнику, к количеству теплоты, полученному от нагревателя, равно отношению абсолютных температур холодильника и нагревателя:
$\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}} = \frac{T_{хол}}{T_{нагр}}$
Из условия задачи известно, что $\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}} = 0.6$.
Следовательно:
$0.6 = \frac{T_{хол}}{T_{нагр}}$
Выразим температуру нагревателя:
$T_{нагр} = \frac{T_{хол}}{0.6}$
Подставим значение температуры холодильника:
$T_{нагр} = \frac{200 \text{ К}}{0.6} = \frac{1000}{3} \text{ К} \approx 333.3 \text{ К}$

Ответ: температура нагревателя приблизительно равна 333,3 К.

5. Какое количество теплоты необходимо сообщить одному молю идеального одноатомного газа, находящемуся в закрытом баллоне при температуре 27 °С, чтобы повысить его давление в 3 раза?

Дано:
Количество вещества, $ν = 1$ моль
Газ идеальный одноатомный
Начальная температура, $t_1 = 27$ °С
Соотношение давлений, $p_2 = 3 p_1$
Процесс изохорный ($V = const$)

Перевод в СИ:
Начальная температура, $T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Количество теплоты, $\text{Q}$ - ?

Решение:

Поскольку газ находится в закрытом баллоне, процесс нагревания является изохорным (объем постоянен, $V = const$). При изохорном процессе работа газа равна нулю ($A = 0$).
Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$. Так как $A=0$, то все подведенное тепло идет на увеличение внутренней энергии:
$Q = \Delta U$
Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется как:
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1)$
Найдем конечную температуру $T_2$. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$
Так как по условию $p_2 = 3 p_1$, то $T_2 = 3 T_1$.
$T_2 = 3 \cdot 300 \text{ К} = 900 \text{ К}$
Теперь можем рассчитать количество теплоты:
$Q = \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (900 \text{ К} - 300 \text{ К}) = 1.5 \cdot 8.31 \cdot 600 \text{ Дж} = 7479 \text{ Дж} \approx 7.5 \text{ кДж}$

Ответ: необходимо сообщить 7,5 кДж теплоты.

6. Температуры нагревателя и холодильника идеальной тепловой машины соответственно равны 117 °С и 27 °С. Количество теплоты, получаемое от нагревателя за 1 с, равно 60 кДж. Вычислите КПД машины, количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1 с, и мощность машины.

Дано:
Температура нагревателя, $t_{нагр} = 117$ °С
Температура холодильника, $t_{хол} = 27$ °С
Теплота от нагревателя, $Q_{нагр} = 60$ кДж
Время, $\tau = 1$ с
Машина идеальная

Перевод в СИ:
$T_{нагр} = t_{нагр} + 273 = 117 + 273 = 390 \text{ К}$
$T_{хол} = t_{хол} + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$Q_{нагр} = 60 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

КПД, $\eta$ - ?
Теплота, отдаваемая холодильнику, $Q_{хол}$ - ?
Мощность, $\text{N}$ - ?

Решение:

1. Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины определяется температурами нагревателя и холодильника:
$\eta = \frac{T_{нагр} - T_{хол}}{T_{нагр}} = 1 - \frac{T_{хол}}{T_{нагр}}$
$\eta = 1 - \frac{300 \text{ К}}{390 \text{ К}} = 1 - \frac{10}{13} = \frac{3}{13} \approx 0.231$ или $23.1\%$
2. Количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1 с, найдем из соотношения:
$\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}} = \frac{T_{хол}}{T_{нагр}}$
$Q_{хол} = Q_{нагр} \cdot \frac{T_{хол}}{T_{нагр}} = 60 \text{ кДж} \cdot \frac{300 \text{ К}}{390 \text{ К}} = 60 \cdot \frac{10}{13} = \frac{600}{13} \text{ кДж} \approx 46.15 \text{ кДж}$
3. Работа, совершаемая машиной за 1 с, равна:
$A = Q_{нагр} - Q_{хол} = 60 \text{ кДж} - 46.15 \text{ кДж} = 13.85 \text{ кДж}$
Мощность машины — это работа, совершаемая за единицу времени:
$N = \frac{A}{\tau} = \frac{13.85 \text{ кДж}}{1 \text{ с}} = 13.85 \text{ кВт}$

Ответ: КПД машины равен 23,1%; количество теплоты, отдаваемое холодильнику, равно 46,15 кДж; мощность машины равна 13,85 кВт.