Вариант 3, страница 127 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-10. Агрегатные состояния вещества. Контрольные работы - страница 127.

Условие.

Вариант 3

I

1. Вычислите модуль упругости железа, если известно, что железная проволока длиной 1,5 м и сечением $10^{-6}$ м$^2$ под действием силы в 200 Н удлинилась на 1,5 мм.

2. Какое количество теплоты необходимо, чтобы 100 г воды, взятой при температуре 283 К, довести до кипения и 10% ее испарить? Удельная теплоемкость воды равна $4200$ Дж/(кг $\cdot$ $^\circ$C), удельная теплота парообразования воды — $2,3$ МДж/кг.

II

3. Днем при температуре $20$ $^\circ$C относительная влажность воздуха 60%. Сколько воды в виде росы выделится из каждого кубического метра воздуха, если температура ночью понизилась до $\text{8}$ $^\circ$C? Плотность насыщенных паров при температуре $20$ $^\circ$C равна $17,3$ г/м$^3$, а при температуре $\text{8}$ $^\circ$C — $8,3$ г/м$^3$.

4. Воду при температуре $20$ $^\circ$C смешали с водой при температуре $100$ $^\circ$C. Определите отношение массы холодной воды к массе горячей воды, если установившаяся температура равна $40$ $^\circ$C. Удельная теплоемкость воды равна $4200$ Дж/(кг $\cdot$ $^\circ$C).

III

5. Сколько воды выделится из тучи объемом $2,5 \cdot 10^6$ м$^3$ при снижении температуры от $20$ до $12$ $^\circ$C, если относительная влажность воздуха 90%? Давление насыщенного пара при $20$ $^\circ$C равно $2,33$ кПа, а при $12$ $^\circ$C — $1,4$ кПа.

6. Сосуд, содержащий некоторое количество воды, внесли в теплую комнату, причем за 15 мин температура воды повысилась на $\text{4}$ $^\circ$C. Сколько потребуется времени, чтобы в этой комнате растаяло такое же количество льда? Скорость теплообмена в обоих случаях считать одинаковой. Удельная теплоемкость воды равна $4200$ Дж/(кг $\cdot$ $^\circ$C), удельная теплота плавления льда — $340$ кДж/кг.

Решение.

I

1. Дано:

Длина проволоки, $l_0 = 1,5 \text{ м}$
Площадь поперечного сечения, $S = 10^{-6} \text{ м}^2$
Сила, $F = 200 \text{ Н}$
Абсолютное удлинение, $\Delta l = 1,5 \text{ мм}$

$\Delta l = 1,5 \text{ мм} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Модуль упругости, $\text{E}$

Решение:

Модуль упругости (или модуль Юнга) $\text{E}$ характеризует способность материала сопротивляться упругой деформации. Он определяется по закону Гука для упругой деформации: $\sigma = E \cdot \varepsilon$, где $\sigma$ — механическое напряжение, а $\varepsilon$ — относительное удлинение.
Отсюда модуль упругости: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$.
Механическое напряжение — это сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения: $\sigma = \frac{F}{S}$.
Относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине: $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$.
Подставим выражения для $\sigma$ и $\varepsilon$ в формулу для модуля упругости:
$E = \frac{F/S}{\Delta l/l_0} = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot \Delta l}$
Теперь подставим числовые значения из условия задачи:
$E = \frac{200 \text{ Н} \cdot 1,5 \text{ м}}{10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{300}{1,5 \cdot 10^{-9}} \text{ Па} = 200 \cdot 10^9 \text{ Па} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$.
Это значение можно также выразить в гигапаскалях: $200 \text{ ГПа}$.

Ответ: $2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$.

2. Дано:

Масса воды, $m = 100 \text{ г}$
Начальная температура, $T_1 = 283 \text{ К}$
Доля испаряемой воды, $k = 10\%$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота парообразования воды, $L = 2,3 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$
$T_1 = 283 \text{ К} \Rightarrow t_1 = 283 - 273 = 10 \text{ °C}$
$k = 10\% = 0,1$
$L = 2,3 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} = 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Общее количество теплоты, $\text{Q}$

Решение:

Общее количество теплоты $\text{Q}$ складывается из двух частей: теплоты $Q_1$, необходимой для нагревания всей массы воды от начальной температуры $t_1$ до температуры кипения ($t_2 = 100 \text{ °C}$), и теплоты $Q_2$, необходимой для испарения 10% воды.
1. Количество теплоты для нагревания воды:$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_1 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,1 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) = 420 \cdot 90 = 37800 \text{ Дж}$.
2. Масса воды, которую нужно испарить:$m_{исп} = k \cdot m = 0,1 \cdot 0,1 \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$.
Количество теплоты для парообразования этой массы воды:$Q_2 = L \cdot m_{исп}$
$Q_2 = 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,01 \text{ кг} = 23000 \text{ Дж}$.
3. Общее количество теплоты:$Q = Q_1 + Q_2 = 37800 \text{ Дж} + 23000 \text{ Дж} = 60800 \text{ Дж}$.
Это значение можно выразить в килоджоулях: $60,8 \text{ кДж}$.

Ответ: $60800 \text{ Дж}$.

II

3. Дано:

Объем воздуха, $V = 1 \text{ м}^3$
Дневная температура, $t_1 = 20 \text{ °C}$
Дневная относительная влажность, $\phi_1 = 60\%$
Ночная температура, $t_2 = 8 \text{ °C}$
Плотность насыщенного пара при $t_1$, $\rho_{н1} = 17,3 \text{ г/м}^3$
Плотность насыщенного пара при $t_2$, $\rho_{н2} = 8,3 \text{ г/м}^3$

$\phi_1 = 60\% = 0,6$

Найти:

Масса выпавшей росы, $\Delta m$

Решение:

1. Сначала найдем абсолютную влажность воздуха днем, то есть фактическую плотность водяного пара $\rho_1$ при температуре $t_1$. Относительная влажность связана с абсолютной по формуле $\phi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_{н1}}$.
$\rho_1 = \phi_1 \cdot \rho_{н1} = 0,6 \cdot 17,3 \frac{\text{г}}{\text{м}^3} = 10,38 \frac{\text{г}}{\text{м}^3}$.
Это означает, что в 1 м³ воздуха днем содержалось 10,38 г водяного пара.
2. Ночью температура понижается до $t_2 = 8 \text{ °C}$. При этой температуре максимальная возможная плотность водяного пара (плотность насыщенного пара) составляет $\rho_{н2} = 8,3 \text{ г/м}^3$.
3. Поскольку начальная плотность пара $\rho_1 = 10,38 \text{ г/м}^3$ больше, чем максимально возможная при ночной температуре $\rho_{н2} = 8,3 \text{ г/м}^3$, избыток водяного пара сконденсируется и выпадет в виде росы.Масса выпавшей росы из 1 м³ воздуха будет равна разности между начальной и конечной плотностями пара:
$\Delta \rho = \rho_1 - \rho_{н2} = 10,38 \frac{\text{г}}{\text{м}^3} - 8,3 \frac{\text{г}}{\text{м}^3} = 2,08 \frac{\text{г}}{\text{м}^3}$.
Для объема $V = 1 \text{ м}^3$ масса росы будет:
$\Delta m = \Delta \rho \cdot V = 2,08 \frac{\text{г}}{\text{м}^3} \cdot 1 \text{ м}^3 = 2,08 \text{ г}$.

Ответ: $2,08 \text{ г}$.

4. Дано:

Температура холодной воды, $t_х = 20 \text{ °C}$
Температура горячей воды, $t_г = 100 \text{ °C}$
Установившаяся температура, $t_к = 40 \text{ °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Найти:

Отношение массы холодной воды к массе горячей, $\frac{m_х}{m_г}$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. В изолированной системе количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{получ}$). Это следует из закона сохранения энергии и называется уравнением теплового баланса:
$Q_{отд} = Q_{получ}$
Количество теплоты, отданное горячей водой массой $m_г$ при остывании от $t_г$ до $t_к$:
$Q_{отд} = c \cdot m_г \cdot (t_г - t_к)$
Количество теплоты, полученное холодной водой массой $m_х$ при нагревании от $t_х$ до $t_к$:
$Q_{получ} = c \cdot m_х \cdot (t_к - t_х)$
Приравниваем правые части уравнений:
$c \cdot m_г \cdot (t_г - t_к) = c \cdot m_х \cdot (t_к - t_х)$
Удельная теплоемкость воды $\text{c}$ в левой и правой частях сокращается:
$m_г \cdot (t_г - t_к) = m_х \cdot (t_к - t_х)$
Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{m_х}{m_г}$:
$\frac{m_х}{m_г} = \frac{t_г - t_к}{t_к - t_х}$
Подставим числовые значения:
$\frac{m_х}{m_г} = \frac{100 \text{ °C} - 40 \text{ °C}}{40 \text{ °C} - 20 \text{ °C}} = \frac{60}{20} = 3$

Ответ: 3.

III

5. Дано:

Объем тучи, $V = 2,5 \cdot 10^6 \text{ м}^3$
Начальная температура, $t_1 = 20 \text{ °C}$
Конечная температура, $t_2 = 12 \text{ °C}$
Относительная влажность, $\phi = 90\%$
Давление насыщенного пара при $20 \text{ °C}$, $p_{н1} = 2,33 \text{ кПа}$
Давление насыщенного пара при $12 \text{ °C}$, $p_{н2} = 1,4 \text{ кПа}$

$T_1 = 20 + 273 = 293 \text{ К}$
$T_2 = 12 + 273 = 285 \text{ К}$
$\phi = 90\% = 0,9$
$p_{н1} = 2,33 \text{ кПа} = 2330 \text{ Па}$
$p_{н2} = 1,4 \text{ кПа} = 1400 \text{ Па}$

Найти:

Масса выделившейся воды, $\Delta m$

Решение:

Массу водяного пара можно найти, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \frac{m}{M}RT$, откуда $m = \frac{pVM}{RT}$. Здесь $\text{M}$ - молярная масса воды ($18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль), $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная ($8,31$ Дж/(моль·К)).
1. Найдем начальную массу пара в туче ($m_1$). Парциальное давление пара $p_1$ при $t_1$ равно:$p_1 = \phi \cdot p_{н1} = 0,9 \cdot 2330 \text{ Па} = 2097 \text{ Па}$.
$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T_1} = \frac{2097 \cdot 2,5 \cdot 10^6 \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8,31 \cdot 293} \approx 38756 \text{ кг}$.
2. При понижении температуры до $t_2$ воздух в туче становится насыщенным (т.к. начальная влажность высока), и парциальное давление пара будет равно давлению насыщенного пара при этой температуре, $p_2 = p_{н2} = 1400 \text{ Па}$. Конечная масса пара в туче ($m_2$):
$m_2 = \frac{p_{н2} V M}{R T_2} = \frac{1400 \cdot 2,5 \cdot 10^6 \cdot 18 \cdot 10^{-3}}{8,31 \cdot 285} \approx 26600 \text{ кг}$.
3. Масса выделившейся воды (в виде дождя) равна разности начальной и конечной масс пара:
$\Delta m = m_1 - m_2 = 38756 \text{ кг} - 26600 \text{ кг} = 12156 \text{ кг}$.
Результат можно округлить и выразить в тоннах: $12,2 \text{ т}$.

Ответ: примерно $12156 \text{ кг}$ или $12,2 \text{ т}$.

6. Дано:

Время нагревания воды, $\tau_1 = 15 \text{ мин}$
Изменение температуры воды, $\Delta t = 4 \text{ °C}$
Масса воды равна массе льда, $m_в = m_л = m$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 340 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$

$\lambda = 340 \frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 340000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Время таяния льда, $\tau_2$

Решение:

По условию, скорость теплообмена (мощность теплопередачи $\text{P}$) в обоих случаях одинакова. Мощность теплопередачи — это количество теплоты $\text{Q}$, передаваемое за единицу времени $\tau$: $P = \frac{Q}{\tau}$.
1. В первом случае (нагревание воды) количество полученной теплоты $Q_1$ равно:$Q_1 = c \cdot m \cdot \Delta t$
Мощность теплопередачи в этом случае:
$P = \frac{Q_1}{\tau_1} = \frac{c \cdot m \cdot \Delta t}{\tau_1}$
2. Во втором случае (таяние льда) количество теплоты $Q_2$, необходимое для плавления льда той же массы $\text{m}$ (при температуре плавления 0 °С), равно:$Q_2 = \lambda \cdot m$
Мощность теплопередачи в этом случае:
$P = \frac{Q_2}{\tau_2} = \frac{\lambda \cdot m}{\tau_2}$
3. Так как мощность $\text{P}$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять выражения:
$\frac{c \cdot m \cdot \Delta t}{\tau_1} = \frac{\lambda \cdot m}{\tau_2}$
Масса $\text{m}$ сокращается, так как она одинакова в обоих случаях:
$\frac{c \cdot \Delta t}{\tau_1} = \frac{\lambda}{\tau_2}$
Выразим из этого уравнения искомое время таяния льда $\tau_2$:
$\tau_2 = \frac{\lambda \cdot \tau_1}{c \cdot \Delta t}$
Подставим числовые значения (время $\tau_1$ можно оставить в минутах, тогда и ответ будет в минутах):
$\tau_2 = \frac{340000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 15 \text{ мин}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 4 \text{ °C}} = \frac{5100000}{16800} \text{ мин} \approx 303,6 \text{ мин}$.
Это примерно 5 часов и 4 минуты.

Ответ: примерно $303,6 \text{ мин}$.