Вариант 4, страница 120 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Контрольные работы - страница 120.

Условие.

Вариант 4

I

1. Рассчитайте давление газа в сосуде вместимостью 500 $cm^3$, содержащем 0,89 г водорода при температуре 17 $^\circ C$.

2. Какова температура газа при давлении 100 кПа и концентрации молекул $10^{25}$ $m^{-3}$?

II

3. Какое количество молекул содержится при температуре 20 $^\circ C$ и давлении 25 кПа в сосуде вместимостью 480 $cm^3$?

4. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину массы газа, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Какова температура в помещении, если давление газа в баллоне стало равным 1,5 МПа?

III

5. Сосуд, содержащий 5 л воздуха при давлении 100 кПа, соединяют с пустым сосудом вместимостью 4,5 л. Какое давление установится в сосудах, если температура не меняется?

6. Какое количество молекул воздуха выходит из комнаты объемом 120 $m^3$ при повышении температуры от 15 до 25 $^\circ C$? Атмосферное давление нормальное.

Решение.

1. Дано:

$V = 500 \text{ см}^3$

$m = 0,89 \text{ г}$

$t = 17 \text{ °C}$

Газ - водород ($H_2$)

$M(H_2) = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$R = 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$

$V = 500 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 5 \times 10^{-4} \text{ м}^3$

$m = 0,89 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$T = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

Найти:

$\text{p}$ - ?

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – объем, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Выразим давление $\text{p}$ из этого уравнения:

$p = \frac{mRT}{MV}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$p = \frac{0,89 \times 10^{-3} \text{ кг} \times 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \times 290 \text{ К}}{2 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \times 5 \times 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{2145,339 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-7}} = \frac{2,145339}{10^{-6}} \approx 2,15 \times 10^6 \text{ Па}$

Переведем результат в мегапаскали:

$2,15 \times 10^6 \text{ Па} = 2,15 \text{ МПа}$

Ответ: $p \approx 2,15 \text{ МПа}$.

2. Дано:

$p = 100 \text{ кПа}$

$n = 10^{25} \text{ м}^{-3}$

$k = 1,38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}$

$p = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление $\text{p}$, концентрацию молекул $\text{n}$ и абсолютную температуру $\text{T}$:

$p = nkT$

где $\text{k}$ – постоянная Больцмана.

Выразим температуру $\text{T}$ из этого уравнения:

$T = \frac{p}{nk}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{10^5 \text{ Па}}{10^{25} \text{ м}^{-3} \times 1,38 \times 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}} = \frac{10^5}{1,38 \times 10^2} = \frac{1000}{1,38} \approx 724,6 \text{ К}$

Ответ: $T \approx 725 \text{ К}$.

3. Дано:

$t = 20 \text{ °C}$

$p = 25 \text{ кПа}$

$V = 480 \text{ см}^3$

$k = 1,38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}$

$T = 20 + 273 = 293 \text{ К}$

$p = 25 \times 10^3 \text{ Па}$

$V = 480 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 4,8 \times 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

$\text{N}$ - ?

Решение:

Используем уравнение состояния идеального газа, выраженное через число молекул $\text{N}$:

$pV = NkT$

где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\text{k}$ – постоянная Больцмана.

Выразим число молекул $\text{N}$:

$N = \frac{pV}{kT}$

Подставим числовые значения в СИ:

$N = \frac{25 \times 10^3 \text{ Па} \times 4,8 \times 10^{-4} \text{ м}^3}{1,38 \times 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \times 293 \text{ К}} = \frac{12}{404,34 \times 10^{-23}} = \frac{12}{4,0434 \times 10^{-21}} \approx 2,968 \times 10^{21}$

С учетом значащих цифр исходных данных (2), округляем результат:

$N \approx 3,0 \times 10^{21}$

Ответ: $N \approx 3,0 \times 10^{21}$ молекул.

4. Дано:

$p_1 = 2,8 \text{ МПа}$

$T_1 = 280 \text{ К}$

$p_2 = 1,5 \text{ МПа}$

$m_2 = m_1 / 2$

$V = \text{const}$

$p_1 = 2,8 \times 10^6 \text{ Па}$

$p_2 = 1,5 \times 10^6 \text{ Па}$

Найти:

$T_2$ - ?

Решение:

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

Начальное состояние (1): $p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$

Конечное состояние (2): $p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

По условию, масса газа уменьшилась вдвое, то есть $m_2 = \frac{m_1}{2}$. Подставим это во второе уравнение:

$p_2 V = \frac{m_1/2}{M} R T_2 = \frac{m_1 R T_2}{2M}$

Теперь разделим второе уравнение на первое:

$\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{\frac{m_1 R T_2}{2M}}{\frac{m_1 R T_1}{M}}$

Сокращаем одинаковые величины ($\text{V}$, $m_1$, $\text{M}$, $\text{R}$):

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2/2}{T_1} = \frac{T_2}{2T_1}$

Выразим искомую температуру $T_2$:

$T_2 = 2T_1 \frac{p_2}{p_1}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = 2 \times 280 \text{ К} \times \frac{1,5 \text{ МПа}}{2,8 \text{ МПа}} = 560 \times \frac{1,5}{2,8} = 560 \times \frac{15}{28} = 20 \times 15 = 300 \text{ К}$

Ответ: $T_2 = 300 \text{ К}$.

5. Дано:

$V_1 = 5 \text{ л}$

$p_1 = 100 \text{ кПа}$

$V_{empty} = 4,5 \text{ л}$

$T = \text{const}$

$V_1 = 5 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

$p_1 = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$V_{empty} = 4,5 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$p_2$ - ?

Решение:

Поскольку температура газа не меняется, процесс является изотермическим. Для изотермического процесса выполняется закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ - начальные давление и объем газа, а $p_2$ и $V_2$ - конечные.

Начальный объем газа $V_1 = 5 \text{ л}$.

После соединения сосудов газ занимает их общий объем. Конечный объем $V_2$ равен сумме объемов двух сосудов:

$V_2 = V_1 + V_{empty} = 5 \text{ л} + 4,5 \text{ л} = 9,5 \text{ л}$

Выразим конечное давление $p_2$ из закона Бойля-Мариотта:

$p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2}$

Подставим значения (можно использовать литры и килопаскали, так как единицы объема сократятся):

$p_2 = \frac{100 \text{ кПа} \times 5 \text{ л}}{9,5 \text{ л}} = \frac{500}{9,5} \approx 52,63 \text{ кПа}$

С учетом значащих цифр исходных данных (наименьшее число - 2, у $V_{empty} = 4,5 \text{ л}$), округляем:

$p_2 \approx 53 \text{ кПа}$

Ответ: $p_2 \approx 53 \text{ кПа}$.

6. Дано:

$V = 120 \text{ м}^3$

$t_1 = 15 \text{ °C}$

$t_2 = 25 \text{ °C}$

$p = p_n = 101325 \text{ Па}$

$k = 1,38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}$

$T_1 = 15 + 273 = 288 \text{ К}$

$T_2 = 25 + 273 = 298 \text{ К}$

Найти:

$\Delta N$ - ?

Решение:

Комната является открытой системой, поэтому давление воздуха в ней остается постоянным и равным атмосферному, $p = \text{const}$. При нагревании часть воздуха выходит из комнаты.

Найдем количество молекул в комнате в начальном и конечном состояниях, используя уравнение состояния идеального газа $pV=NkT$.

Начальное количество молекул при температуре $T_1$:

$N_1 = \frac{pV}{kT_1}$

Конечное количество молекул при температуре $T_2$:

$N_2 = \frac{pV}{kT_2}$

Количество молекул, вышедших из комнаты, равно разности $\Delta N = N_1 - N_2$.

$\Delta N = \frac{pV}{kT_1} - \frac{pV}{kT_2} = \frac{pV}{k} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{pV}{k} \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$

Подставим числовые значения:

$N_1 = \frac{101325 \text{ Па} \times 120 \text{ м}^3}{1,38 \times 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \times 288 \text{ К}} = \frac{12159000}{3,9744 \times 10^{-21}} \approx 3,059 \times 10^{27}$

$N_2 = \frac{101325 \text{ Па} \times 120 \text{ м}^3}{1,38 \times 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \times 298 \text{ К}} = \frac{12159000}{4,1124 \times 10^{-21}} \approx 2,956 \times 10^{27}$

Теперь найдем разность:

$\Delta N = N_1 - N_2 = (3,059 - 2,956) \times 10^{27} = 0,103 \times 10^{27} = 1,03 \times 10^{26}$

С учетом точности температур (2 значащие цифры), округляем результат:

$\Delta N \approx 1,0 \times 10^{26}$

Ответ: $\Delta N \approx 1,0 \times 10^{26}$ молекул.