Вариант 1, страница 125 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-10. Агрегатные состояния вещества. Контрольные работы - страница 125.

Условие.

KP-10. Агрегатные состояния вещества

Вариант 1

I

1. Под действием силы 50 Н проволока длиной 2,5 м и площадью поперечного сечения $2,5 \cdot 10^{-6}$ м$^2$ удлинилась на 1 мм. Определите модуль Юнга.

2. Какое количество теплоты выделится при конденсации 200 г водяного пара с температурой 100 °С и при охлаждении полученной воды до 20 °С? Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг • °С), удельная теплота парообразования воды — 2,3 МДж/кг.

II

3. Керосин поднялся по капиллярной трубке на 15 мм. Определите радиус трубки, если коэффициент поверхностного натяжения керосина равен $24 \cdot 10^{-3}$ Н/м, а его плотность — 800 кг/м$^3$.

4. Смешали 0,4 м$^3$ воды при температуре 20 °С и 0,1 м$^3$ воды при температуре 70 °С. Какова температура смеси при тепловом равновесии? Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг • °С).

III

5. В помещении, объем которого 150 м$^3$, поддерживается дневная температура 20 °С и относительная влажность воздуха 60%. Сколько воды выделится на окнах при запотевании стекол, если ночью температура понизится до 8 °С? Давление насыщенного пара при 20 °С равно 2,3 кПа, при 8 °С — 1,1 кПа.

6. Смесь, состоящую из 5 кг льда и 15 кг воды при общей температуре 0 °С, нужно нагреть до температуры 80 °С пропусканием водяного пара при температуре 100 °С. Определите необходимое количество пара. Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг • °С), удельная теплота парообразования воды равна 2,3 МДж/кг, удельная теплота плавления льда — 340 кДж/кг.

Решение.

1. Дано:

Сила, $F = 50$ Н
Начальная длина, $L_0 = 2,5$ м
Площадь поперечного сечения, $S = 2,5 \cdot 10^{-6}$ м²
Удлинение, $\Delta L = 1$ мм

$\Delta L = 1$ мм = $1 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Модуль Юнга, $\text{E}$

Решение:

Модуль Юнга (модуль упругости) определяется по формуле, связывающей механическое напряжение $\sigma$ и относительное удлинение $\varepsilon$:$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$
Механическое напряжение вычисляется как отношение силы к площади поперечного сечения: $\sigma = \frac{F}{S}$
Относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения к начальной длине: $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$
Подставляя эти выражения в формулу для модуля Юнга, получаем:
$E = \frac{F/S}{\Delta L/L_0} = \frac{F \cdot L_0}{S \cdot \Delta L}$
Подставим числовые значения:
$E = \frac{50 \text{ Н} \cdot 2,5 \text{ м}}{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{125}{2,5 \cdot 10^{-9}} \text{ Па} = 50 \cdot 10^9$ Па.
$50 \cdot 10^9$ Па можно также записать как 50 ГПа.

Ответ: $50 \cdot 10^9$ Па (или 50 ГПа).

2. Дано:

Масса водяного пара, $m = 200$ г
Начальная температура пара, $t_1 = 100$ °С
Конечная температура воды, $t_2 = 20$ °С
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Удельная теплота парообразования, $L = 2,3$ МДж/кг

$m = 200$ г = $0,2$ кг
$L = 2,3$ МДж/кг = $2,3 \cdot 10^6$ Дж/кг

Найти:

Количество теплоты, $\text{Q}$

Решение:

Общее количество теплоты, выделившееся в процессе, складывается из двух этапов:
1. Конденсация пара в воду при температуре 100 °С ($Q_1$).
2. Охлаждение образовавшейся воды от 100 °С до 20 °С ($Q_2$).
$Q = Q_1 + Q_2$
Количество теплоты при конденсации: $Q_1 = L \cdot m$
Количество теплоты при охлаждении: $Q_2 = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$
Общая формула: $Q = L \cdot m + c \cdot m \cdot (t_1 - t_2) = m(L + c(t_1 - t_2)) $
Подставим значения:
$Q = 0,2 \text{ кг} \cdot (2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot (100 \text{ °С} - 20 \text{ °С}))$
$Q = 0,2 \cdot (2,3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot 80) = 0,2 \cdot (2300000 + 336000) = 0,2 \cdot 2636000 = 527200$ Дж.
Это количество теплоты можно выразить в килоджоулях: $527,2$ кДж.

Ответ: $527200$ Дж или $527,2$ кДж.

3. Дано:

Высота подъема керосина, $h = 15$ мм
Коэффициент поверхностного натяжения, $\sigma = 24 \cdot 10^{-3}$ Н/м
Плотность керосина, $\rho = 800$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

$h = 15$ мм = $0,015$ м

Найти:

Радиус трубки, $\text{r}$

Решение:

Высота подъема жидкости в капилляре определяется по закону Жюрена. Для случая полного смачивания (краевой угол $\theta = 0$, $\cos\theta = 1$), формула имеет вид:
$h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$
где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, $\rho$ — плотность жидкости, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{r}$ — радиус капилляра.
Выразим из этой формулы радиус трубки $\text{r}$:
$r = \frac{2\sigma}{\rho g h}$
Подставим числовые значения:
$r = \frac{2 \cdot 24 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 0,015 \text{ м}} = \frac{48 \cdot 10^{-3}}{120000} \text{ м} = \frac{48 \cdot 10^{-3}}{12 \cdot 10^4} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7}$ м.
Примечание: В расчетах произошла ошибка. Пересчитаем: $800 \cdot 10 \cdot 0,015 = 8000 \cdot 0,015 = 120$.
$r = \frac{48 \cdot 10^{-3}}{120} \text{ м} = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-4}$ м.
$4 \cdot 10^{-4}$ м можно выразить как 0,4 мм.

Ответ: $4 \cdot 10^{-4}$ м или 0,4 мм.

4. Дано:

Объем холодной воды, $V_1 = 0,4$ м³
Температура холодной воды, $t_1 = 20$ °С
Объем горячей воды, $V_2 = 0,1$ м³
Температура горячей воды, $t_2 = 70$ °С
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Плотность воды, $\rho = 1000$ кг/м³

Найти:

Конечная температура смеси, $\text{t}$

Решение:

При смешивании воды разной температуры составляется уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_2$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_1$).
$Q_1 = Q_2$
Количество теплоты, полученное холодной водой: $Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$
Количество теплоты, отданное горячей водой: $Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$
Массы воды можно выразить через объем и плотность: $m_1 = \rho V_1$ и $m_2 = \rho V_2$.
$c \cdot \rho V_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot \rho V_2 \cdot (t_2 - t)$
Сократив удельная теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$, получим:
$V_1 (t - t_1) = V_2 (t_2 - t)$
$V_1 t - V_1 t_1 = V_2 t_2 - V_2 t$
$V_1 t + V_2 t = V_1 t_1 + V_2 t_2$
$t (V_1 + V_2) = V_1 t_1 + V_2 t_2$
$t = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2}{V_1 + V_2}$
Подставим значения:
$t = \frac{0,4 \text{ м³} \cdot 20 \text{ °С} + 0,1 \text{ м³} \cdot 70 \text{ °С}}{0,4 \text{ м³} + 0,1 \text{ м³}} = \frac{8 + 7}{0,5} \text{ °С} = \frac{15}{0,5} \text{ °С} = 30$ °С.

Ответ: 30 °С.

5. Дано:

Объем помещения, $V = 150$ м³
Дневная температура, $t_1 = 20$ °С
Относительная влажность, $\phi_1 = 60\%$
Ночная температура, $t_2 = 8$ °С
Давление насыщенного пара при 20 °С, $p_{s1} = 2,3$ кПа
Давление насыщенного пара при 8 °С, $p_{s2} = 1,1$ кПа
Молярная масса воды, $M = 18$ г/моль
Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31$ Дж/(моль·К)

$t_1 = 20$ °С = $293,15$ К
$\phi_1 = 60\% = 0,6$
$t_2 = 8$ °С = $281,15$ К
$p_{s1} = 2,3$ кПа = $2300$ Па
$p_{s2} = 1,1$ кПа = $1100$ Па
$M = 18$ г/моль = $0,018$ кг/моль

Найти:

Масса сконденсировавшейся воды, $\Delta m$

Решение:

Масса сконденсировавшейся воды равна разности между начальной массой водяного пара в воздухе ($m_1$) и конечной массой пара, которую может содержать воздух при пониженной температуре ($m_2$).
Массу пара найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона: $p V = \frac{m}{M} R T$, откуда $m = \frac{p V M}{R T}$.
1. Начальная масса пара ($m_1$):
Парциальное давление пара днем $p_1 = \phi_1 \cdot p_{s1} = 0,6 \cdot 2300 \text{ Па} = 1380$ Па.
$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T_1} = \frac{1380 \text{ Па} \cdot 150 \text{ м³} \cdot 0,018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 293,15 \text{ К}} \approx 1,530$ кг.
2. Конечная масса пара ($m_2$):
При понижении температуры до 8 °С и выпадении росы, воздух становится насыщенным, то есть его относительная влажность $\phi_2 = 100\%$. Парциальное давление пара становится равным давлению насыщенного пара при этой температуре: $p_2 = p_{s2} = 1100$ Па.
$m_2 = \frac{p_2 V M}{R T_2} = \frac{1100 \text{ Па} \cdot 150 \text{ м³} \cdot 0,018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 281,15 \text{ К}} \approx 1,272$ кг.
3. Масса сконденсировавшейся воды:
$\Delta m = m_1 - m_2 \approx 1,530 \text{ кг} - 1,272 \text{ кг} = 0,258$ кг.

Ответ: $\approx 0,258$ кг (или 258 г).

6. Дано:

Масса льда, $m_{ice} = 5$ кг
Масса воды, $m_{w} = 15$ кг
Начальная температура смеси, $t_1 = 0$ °С
Конечная температура смеси, $t_2 = 80$ °С
Температура пара, $t_{steam} = 100$ °С
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Удельная теплота парообразования, $L = 2,3$ МДж/кг
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 340$ кДж/кг

$L = 2,3$ МДж/кг = $2,3 \cdot 10^6$ Дж/кг
$\lambda = 340$ кДж/кг = $3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг

Найти:

Масса пара, $m_{steam}$

Решение:

По закону сохранения энергии, количество теплоты, полученное смесью льда и воды ($Q_{gain}$), равно количеству теплоты, отданному паром ($Q_{lost}$).
$Q_{gain} = Q_{lost}$
1. Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси ($Q_{gain}$):
а) Плавление льда: $Q_{melt} = \lambda \cdot m_{ice}$
б) Нагревание всей воды (изначальной и растаявшей) от 0 °С до 80 °С: $Q_{warm} = c \cdot (m_{ice} + m_{w}) \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_{gain} = \lambda \cdot m_{ice} + c \cdot (m_{ice} + m_{w}) \cdot (t_2 - t_1)$
$Q_{gain} = (3,4 \cdot 10^5 \cdot 5) + (4200 \cdot (5 + 15) \cdot (80 - 0)) = 1,7 \cdot 10^6 + (4200 \cdot 20 \cdot 80) = 1,7 \cdot 10^6 + 6,72 \cdot 10^6 = 8,42 \cdot 10^6$ Дж.
2. Количество теплоты, отданное паром ($Q_{lost}$):
а) Конденсация пара: $Q_{condense} = L \cdot m_{steam}$
б) Охлаждение образовавшейся воды от 100 °С до 80 °С: $Q_{cool} = c \cdot m_{steam} \cdot (t_{steam} - t_2)$
$Q_{lost} = m_{steam} (L + c(t_{steam} - t_2))$
3. Приравниваем $Q_{gain}$ и $Q_{lost}$ и находим $m_{steam}$:
$m_{steam} = \frac{Q_{gain}}{L + c(t_{steam} - t_2)}$
$m_{steam} = \frac{8,42 \cdot 10^6}{2,3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot (100 - 80)} = \frac{8,42 \cdot 10^6}{2,3 \cdot 10^6 + 84000} = \frac{8,42 \cdot 10^6}{2,384 \cdot 10^6} \approx 3,53$ кг.

Ответ: $\approx 3,53$ кг.