Вариант 2, страница 118 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Контрольные работы - страница 118.

Условие.

Вариант 3

I

1. Газ в количестве 1000 молей при давлении $1 \text{ МПа}$ имеет температуру $100 \text{ }^{\circ}C$. Найдите объем газа.

2. При давлении $1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$ в $1 \text{ м}^3$ газа содержится $2 \cdot 10^{25}$ молекул. Какова средняя кинетическая энергия поступательного движения этих молекул?

II

3. При давлении $10^5 \text{ Па}$ и температуре $27 \text{ }^{\circ}C$ плотность некоторого газа $0,162 \text{ кг/м}^3$. Определите, какой это газ.

4. При какой температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость $700 \text{ м/с}$?

III

5. Два сосуда с газом вместимостью $3 \text{ л}$ и $4 \text{ л}$ соединяют между собой. В первом сосуде газ находится под давлением $200 \text{ кПа}$, а во втором — $100 \text{ кПа}$. Найдите давление, под которым будет находиться газ, если температура в сосудах одинакова и постоянна.

6. Какое количество молекул газа находится в единице объема сосуда под давлением $150 \text{ кПа}$ при температуре $273 \text{ }^{\circ}C$?

Решение.

1. Газ в количестве 1000 молей при давлении 1 МПа имеет температуру 100 °C. Найдите объем газа.

Дано:

Количество вещества, $\nu = 1000$ моль

Давление, $P = 1$ МПа

Температура, $t = 100$ °C

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

$P = 1 \cdot 10^6$ Па
$T = 100 + 273 = 373$ К

Найти:

Объем газа, $\text{V}$

Решение:

Для решения задачи используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu RT$

Выразим из этого уравнения объем $\text{V}$:

$V = \frac{\nu RT}{P}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$V = \frac{1000 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 373 \text{ К}}{1 \cdot 10^6 \text{ Па}} \approx 3.10 \text{ м}^3$

Ответ: объем газа составляет примерно 3,10 м³.

2. При давлении 1,5·10⁵ Па в 1 м³ газа содержится 2·10²⁵ молекул. Какова средняя кинетическая энергия поступательного движения этих молекул?

Дано:

Давление, $P = 1.5 \cdot 10^5$ Па

Объем, $V = 1$ м³

Число молекул, $N = 2 \cdot 10^{25}$

Найти:

Средняя кинетическая энергия, $\bar{E}_k$

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с концентрацией молекул и средней кинетической энергией их поступательного движения:

$P = \frac{2}{3} n \bar{E}_k$

где $\text{n}$ — концентрация молекул, которая определяется как отношение числа молекул $\text{N}$ к объему $\text{V}$:

$n = \frac{N}{V}$

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение:

$P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}_k$

Выразим среднюю кинетическую энергию $\bar{E}_k$:

$\bar{E}_k = \frac{3PV}{2N}$

Подставим числовые значения:

$\bar{E}_k = \frac{3 \cdot 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3}{2 \cdot 2 \cdot 10^{25}} = \frac{4.5 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^{25}} = 1.125 \cdot 10^{-20}$ Дж

Ответ: средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна $1.125 \cdot 10^{-20}$ Дж.

3. При давлении 10⁵ Па и температуре 27 °С плотность некоторого газа 0,162 кг/м³. Определите, какой это газ.

Дано:

Давление, $P = 10^5$ Па

Температура, $t = 27$ °C

Плотность, $\rho = 0.162$ кг/м³

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

$T = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Молярную массу газа, $\text{M}$

Решение:

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{m}$ - масса газа, $\text{M}$ - его молярная масса.

Плотность газа $\rho$ связана с массой и объемом соотношением $\rho = \frac{m}{V}$.

Преобразуем уравнение состояния, разделив обе части на $\text{V}$:

$P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \implies P = \frac{\rho RT}{M}$

Выразим молярную массу $\text{M}$:

$M = \frac{\rho RT}{P}$

Подставим известные значения:

$M = \frac{0.162 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{10^5 \text{ Па}} \approx 0.00403 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 4.03 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Молярная масса, близкая к 4 г/моль, соответствует гелию (He).

Ответ: это гелий (He).

4. При какой температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 700 м/с?

Дано:

Средняя квадратичная скорость, $\sqrt{\bar{v^2}} = 700$ м/с

Газ - кислород ($O_2$)

Молярная масса кислорода, $M = 32$ г/моль

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

$M = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Температуру, $\text{T}$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с температурой и молярной массой следующим соотношением:

$\sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\bar{v^2} = \frac{3RT}{M}$

Выразим температуру $\text{T}$:

$T = \frac{M \bar{v^2}}{3R}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{32 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot (700 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{3 \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{32 \cdot 10^{-3} \cdot 490000}{24.93} \approx \frac{15680}{24.93} \approx 629$ К

Ответ: при температуре примерно 629 К.

5. Два сосуда с газом вместимостью 3 л и 4 л соединяют между собой. В первом сосуде газ находится под давлением 200 кПа, а во втором — 100 кПа. Найдите давление, под которым будет находиться газ, если температура в сосудах одинакова и постоянна.

Дано:

Объем первого сосуда, $V_1 = 3$ л

Давление в первом сосуде, $P_1 = 200$ кПа

Объем второго сосуда, $V_2 = 4$ л

Давление во втором сосуде, $P_2 = 100$ кПа

$T = \text{const}$

$V_1 = 3 \cdot 10^{-3}$ м³
$P_1 = 200 \cdot 10^3$ Па
$V_2 = 4 \cdot 10^{-3}$ м³
$P_2 = 100 \cdot 10^3$ Па

Найти:

Конечное давление, $P_f$

Решение:

Поскольку температура газа остается постоянной, можно применить закон Бойля-Мариотта для смеси газов. Общее количество вещества газа до и после соединения сосудов сохраняется:

$\nu_{total} = \nu_1 + \nu_2$

Из уравнения состояния идеального газа $PV = \nu RT$, количество вещества $\nu = \frac{PV}{RT}$. Подставим это в закон сохранения:

$\frac{P_f V_f}{RT} = \frac{P_1 V_1}{RT} + \frac{P_2 V_2}{RT}$

Поскольку $\text{R}$ и $\text{T}$ постоянны, они сокращаются:

$P_f V_f = P_1 V_1 + P_2 V_2$

Конечный объем $V_f$ равен сумме объемов сосудов: $V_f = V_1 + V_2$.

$P_f (V_1 + V_2) = P_1 V_1 + P_2 V_2$

Выразим конечное давление $P_f$:

$P_f = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Для расчетов можно использовать исходные единицы (литры и килопаскали), так как они взаимно сократятся:

$P_f = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 3 \text{ л} + 100 \text{ кПа} \cdot 4 \text{ л}}{3 \text{ л} + 4 \text{ л}} = \frac{600 + 400}{7} = \frac{1000}{7} \approx 142.86$ кПа

Ответ: давление газа будет примерно 143 кПа.

6. Какое количество молекул газа находится в единице объема сосуда под давлением 150 кПа при температуре 273 °C?

Дано:

Давление, $P = 150$ кПа

Температура, $t = 273$ °C

Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

$P = 150 \cdot 10^3$ Па
$T = 273 + 273 = 546$ К

Найти:

Концентрацию молекул, $n = N/V$

Решение:

Давление идеального газа связано с его температурой и концентрацией молекул уравнением:

$P = nkT$

где $\text{n}$ — концентрация молекул (количество молекул в единице объема), $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Выразим концентрацию $\text{n}$ из этого уравнения:

$n = \frac{P}{kT}$

Подставим известные значения:

$n = \frac{150 \cdot 10^3 \text{ Па}}{1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 546 \text{ К}} \approx \frac{1.5 \cdot 10^5}{7.5348 \cdot 10^{-21}} \approx 1.99 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Ответ: в единице объема находится примерно $1.99 \cdot 10^{25}$ молекул.