Вариант 4, страница 112 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-6. Закон сохранения импульса - страница 112.

Условие.

Вариант 4

I

1. Мяч массой $1,8 \text{ кг}$, движущийся со скоростью $6,5 \text{ м/с}$, под прямым углом ударяется в стенку и отскакивает от нее со скоростью $4,8 \text{ м/с}$. Чему равно изменение импульса мяча при ударе?

2. Пуля вылетает из винтовки со скоростью $800 \text{ м/с}$. Какова скорость винтовки при отдаче, если ее масса в 400 раз больше массы пули?

II

3. Определите скорость лодки массой $240 \text{ кг}$, движущейся без гребца со скоростью $1 \text{ м/с}$, после того как из нее выпал груз массой $80 \text{ кг}$.

4. Человек и тележка движутся навстречу друг другу, причем масса человека в 2 раза больше массы тележки. Скорость человека $2 \text{ м/с}$, а тележки — $1 \text{ м/с}$. Человек вскакивает на тележку и остается на ней. Какова скорость человека вместе с тележкой?

III

5. Охотник стреляет с легкой неподвижной лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой $70 \text{ кг}$, масса дроби $35 \text{ г}$, начальная скорость дроби $320 \text{ м/с}$? Ствол ружья во время выстрела направлен под углом $60^\circ$ к горизонту.

6. На поверхности озера находится лодка массой $140 \text{ кг}$. Она перпендикулярна линии берега и обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и берегом равно $0,75 \text{ м}$. В начальный момент лодка неподвижна. Человек массой $60 \text{ кг}$, находящийся в лодке, переходит с носа лодки на корму. Причалит ли при этом лодка к берегу, если ее длина $2 \text{ м}$?

Решение.

1. Дано:

$m = 1,8$ кг
$v_1 = 6,5$ м/с
$v_2 = 4,8$ м/с

Найти:

$\Delta p$ - ?

Решение:

Изменение импульса тела равно разности его конечного и начального импульсов. Импульс является векторной величиной, поэтому необходимо учитывать направление скоростей.

$\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$

Выберем ось $OX$, направленную перпендикулярно стенке, в сторону отскочившего мяча. Тогда проекция начальной скорости мяча на эту ось будет отрицательной ($v_{1x} = -v_1$), а проекция конечной скорости — положительной ($v_{2x} = v_2$).

Проекция изменения импульса на ось $OX$:

$\Delta p_x = m v_{2x} - m v_{1x} = m v_2 - m (-v_1) = m (v_2 + v_1)$

Подставим числовые значения:

$\Delta p = 1,8 \cdot (4,8 + 6,5) = 1,8 \cdot 11,3 = 20,34$ (кг·м/с)

Ответ: изменение импульса мяча равно 20,34 кг·м/с.

2. Дано:

$v_п = 800$ м/с
$m_в = 400 \cdot m_п$

Найти:

$v_в$ - ?

Решение:

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным. До выстрела система "винтовка-пуля" покоилась, ее суммарный импульс был равен нулю. После выстрела суммарный импульс системы также должен быть равен нулю.

$m_п \vec{v}_п + m_в \vec{v}_в = 0$

Спроецируем импульсы на ось, направленную в сторону движения пули. Скорость винтовки (отдача) будет направлена в противоположную сторону.

$m_п v_п - m_в v_в = 0$

$m_в v_в = m_п v_п$

Отсюда выразим скорость винтовки:

$v_в = \frac{m_п v_п}{m_в}$

Подставим известное соотношение масс $m_в = 400 m_п$:

$v_в = \frac{m_п v_п}{400 m_п} = \frac{v_п}{400}$

$v_в = \frac{800}{400} = 2$ м/с

Ответ: скорость винтовки при отдаче равна 2 м/с.

3. Дано:

$m_л = 240$ кг
$m_г = 80$ кг
$v_0 = 1$ м/с

Найти:

$v_л$ - ?

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "лодка-груз" в горизонтальном направлении. Внешние силы (сила тяжести, архимедова сила) действуют вертикально, а сопротивлением воды пренебрегаем.

Начальный импульс системы (лодка + груз):

$p_{до} = (m_л + m_г) \cdot v_0$

Когда груз выпадает из лодки, он продолжает двигаться по инерции с той же горизонтальной скоростью, которую имела лодка, то есть $v_г = v_0$. Пусть новая скорость лодки будет $v_л$.

Конечный импульс системы:

$p_{после} = m_л v_л + m_г v_г = m_л v_л + m_г v_0$

По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$(m_л + m_г) v_0 = m_л v_л + m_г v_0$

$m_л v_0 + m_г v_0 = m_л v_л + m_г v_0$

Сократив $m_г v_0$ в обеих частях уравнения, получаем:

$m_л v_0 = m_л v_л$

Отсюда $v_л = v_0 = 1$ м/с.

Ответ: скорость лодки не изменится и останется равной 1 м/с.

4. Дано:

$v_ч = 2$ м/с
$v_т = 1$ м/с
$m_ч = 2 m_т$

Найти:

$\text{u}$ - ?

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "человек-тележка". Взаимодействие (человек вскакивает на тележку) является неупругим ударом.

Выберем ось $OX$, направленную в сторону первоначального движения человека. Тогда его скорость будет положительной, а скорость тележки, движущейся навстречу, — отрицательной.

Импульс системы до взаимодействия:

$p_{до} = m_ч v_ч - m_т v_т$

После того как человек вскочил на тележку, они движутся вместе с общей скоростью $\text{u}$. Их суммарная масса равна $m_ч + m_т$.

Импульс системы после взаимодействия:

$p_{после} = (m_ч + m_т) u$

По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$m_ч v_ч - m_т v_т = (m_ч + m_т) u$

Подставим $m_ч = 2 m_т$:

$2 m_т v_ч - m_т v_т = (2 m_т + m_т) u$

$m_т (2 v_ч - v_т) = 3 m_т u$

Сократим $m_т$:

$2 v_ч - v_т = 3 u$

$u = \frac{2 v_ч - v_т}{3} = \frac{2 \cdot 2 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ м/с

Поскольку скорость получилась положительной, система будет двигаться в ту же сторону, куда изначально двигался человек.

Ответ: скорость человека вместе с тележкой равна 1 м/с.

5. Дано:

$M = 70$ кг
$m = 35$ г
$v = 320$ м/с
$\alpha = 60^\circ$

$m = 35 \text{ г} = 0,035 \text{ кг}$

Найти:

$\text{u}$ - ?

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "охотник-лодка-дробь". До выстрела система покоилась, ее импульс был равен нулю. Нас интересует движение лодки, которое возможно только в горизонтальном направлении, поэтому рассмотрим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Начальный импульс системы в проекции на горизонтальную ось $OX$:

$p_{до, x} = 0$

После выстрела лодка с охотником приобретает скорость $\text{u}$, а дробь вылетает со скоростью $\text{v}$ под углом $\alpha$ к горизонту.

Горизонтальная составляющая импульса дроби: $p_{д, x} = m v \cos(\alpha)$.

Импульс лодки с охотником (отдача) будет направлен в противоположную сторону: $p_{л, x} = -M u$.

Конечный импульс системы в проекции на ось $OX$:

$p_{после, x} = m v \cos(\alpha) - M u$

По закону сохранения импульса $p_{до, x} = p_{после, x}$:

$0 = m v \cos(\alpha) - M u$

$M u = m v \cos(\alpha)$

$u = \frac{m v \cos(\alpha)}{M}$

Подставим значения, учитывая, что $\cos(60^\circ) = 0,5$:

$u = \frac{0,035 \cdot 320 \cdot 0,5}{70} = \frac{11,2 \cdot 0,5}{70} = \frac{5,6}{70} = 0,08$ м/с

Ответ: лодка приобретает скорость 0,08 м/с.

6. Дано:

$M = 140$ кг
$m = 60$ кг
$L = 2$ м
$S = 0,75$ м

Найти:

Причалит ли лодка?

Решение:

Рассмотрим систему "лодка-человек". В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы (сопротивлением воды пренебрегаем), поэтому ее центр масс остается на месте.

Когда человек перемещается относительно лодки на расстояние $\text{L}$ (от носа к корме), лодка перемещается в противоположном направлении на некоторое расстояние $\Delta x_л$. Перемещение человека относительно воды ($\Delta x_ч$) и перемещение лодки относительно воды ($\Delta x_л$) связаны условием сохранения положения центра масс:

$m \cdot \Delta x_ч + M \cdot \Delta x_л = 0$

Выберем ось $\text{X}$, направленную к берегу (от кормы к носу). Человек перемещается от носа к корме, т.е. его перемещение относительно лодки равно $-L$. Тогда его перемещение относительно воды:

$\Delta x_ч = \Delta x_л - L$

Подставим это в уравнение сохранения центра масс:

$m (\Delta x_л - L) + M \Delta x_л = 0$

$m \Delta x_л - m L + M \Delta x_л = 0$

$(m + M) \Delta x_л = m L$

$\Delta x_л = \frac{m L}{m+M}$

Это перемещение лодки будет направлено к берегу. Найдем его величину:

$\Delta x_л = \frac{60 \cdot 2}{60 + 140} = \frac{120}{200} = 0,6$ м

Лодка сместится к берегу на 0,6 метра. Начальное расстояние от носа лодки до берега было $S = 0,75$ м.

Сравним перемещение лодки с расстоянием до берега:

$0,6 \text{ м} < 0,75 \text{ м}$

Так как перемещение лодки меньше, чем расстояние до берега, лодка не причалит.

Ответ: нет, лодка не причалит, так как она сместится к берегу на 0,6 м, а расстояние до берега составляет 0,75 м.