Вариант 2, страница 110 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-6. Закон сохранения импульса. Контрольные работы - страница 110.

Условие.

Вариант 3

I

1. Молекула массой $8 \cdot 10^{-26}$ кг подлетает перпендикулярно стенке со скоростью 500 м/с, ударяется о нее и отскакивает с той же по величине скоростью. Найдите изменение импульса молекулы при ударе.

2. Чему будет равна скорость вагонетки массой 2,4 т, движущейся со скоростью 2 м/с, после того как на вагонетку вертикально сбросили 600 кг песка?

II

3. От двухступенчатой ракеты общей массой 1 т в момент достижения скорости 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой 0,4 т, скорость которой при этом увеличилась до 185 м/с. Определите скорость, с которой стала двигаться первая ступень ракеты.

4. Два шара движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Масса первого шара 1 кг. Какую массу должен иметь второй шар, чтобы после столкновения первый шар остановился, а второй покатился назад с прежней скоростью?

III

5. Человек массой 60 кг стоит на льду и ловит мяч массой 500 г, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения равен 0,05?

6. Плот массой 800 кг плывет по реке со скоростью 1 м/с. На плот с берега перпендикулярно направлению движения плота прыгает человек массой 80 кг со скоростью 2 м/с. Определите скорость плота с человеком.

Решение.

1. Дано:

Масса молекулы $m = 8 \cdot 10^{-26}$ кг
Скорость молекулы до удара $v = 500$ м/с
Скорость молекулы после удара по модулю такая же, но направление противоположное.

Найти:

Изменение импульса молекулы $\Delta p$ - ?

Решение:

Импульс является векторной величиной. Изменение импульса равно разности конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.
Выберем ось $Ox$, перпендикулярную стенке и направленную от неё. Тогда начальная скорость молекулы в проекции на эту ось равна $v_x = -v = -500$ м/с, а конечная скорость $v'_x = v = 500$ м/с.
Начальный импульс в проекции на ось $Ox$: $p_{1x} = m v_x = -mv$.
Конечный импульс в проекции на ось $Ox$: $p_{2x} = m v'_x = mv$.
Изменение импульса в проекции на ось $Ox$ (и его модуль, так как движение одномерное):
$\Delta p = p_{2x} - p_{1x} = mv - (-mv) = 2mv$.
Подставим числовые значения:
$\Delta p = 2 \cdot (8 \cdot 10^{-26} \text{ кг}) \cdot (500 \text{ м/с}) = 8000 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\cdot\text{м/с} = 8 \cdot 10^{-23} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $8 \cdot 10^{-23} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

2. Дано:

Масса вагонетки $m_в = 2,4$ т
Начальная скорость вагонетки $v_в = 2$ м/с
Масса песка $m_п = 600$ кг

Перевод в СИ:
$m_в = 2,4 \text{ т} = 2400 \text{ кг}$

Найти:

Конечная скорость вагонетки с песком $\text{u}$ - ?

Решение:

Так как песок сбрасывают на вагонетку вертикально, его начальная горизонтальная скорость равна нулю. Система "вагонетка + песок" в горизонтальном направлении является замкнутой, поэтому применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.
Импульс системы до взаимодействия: $p_{до} = m_в v_в + m_п \cdot 0 = m_в v_в$.
Импульс системы после взаимодействия (вагонетка и песок движутся вместе): $p_{после} = (m_в + m_п) u$.
Согласно закону сохранения импульса: $p_{до} = p_{после}$.
$m_в v_в = (m_в + m_п) u$.
Отсюда выразим конечную скорость $\text{u}$:
$u = \frac{m_в v_в}{m_в + m_п}$.
Подставим числовые значения:
$u = \frac{2400 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{2400 \text{ кг} + 600 \text{ кг}} = \frac{4800}{3000} \text{ м/с} = 1,6 \text{ м/с}$.

Ответ: 1,6 м/с.

3. Дано:

Общая масса ракеты $M = 1$ т
Скорость ракеты до разделения $v = 171$ м/с
Масса второй ступени $m_2 = 0,4$ т
Скорость второй ступени после разделения $v_2 = 185$ м/с

Перевод в СИ:
$M = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
$m_2 = 0,4 \text{ т} = 400 \text{ кг}$

Найти:

Скорость первой ступени после разделения $v_1$ - ?

Решение:

Процесс разделения ступеней ракеты происходит под действием внутренних сил, поэтому для системы "ракета" выполняется закон сохранения импульса. Движение происходит вдоль одной прямой.
Масса первой ступени: $m_1 = M - m_2 = 1000 \text{ кг} - 400 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$.
Импульс системы до разделения: $p_{до} = M v$.
Импульс системы после разделения: $p_{после} = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
По закону сохранения импульса: $Mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
Выразим скорость первой ступени $v_1$:
$m_1 v_1 = Mv - m_2 v_2$
$v_1 = \frac{Mv - m_2 v_2}{m_1}$.
Подставим числовые значения:
$v_1 = \frac{1000 \text{ кг} \cdot 171 \text{ м/с} - 400 \text{ кг} \cdot 185 \text{ м/с}}{600 \text{ кг}} = \frac{171000 - 74000}{600} \text{ м/с} = \frac{97000}{600} \text{ м/с} \approx 161,67 \text{ м/с}$.

Ответ: $\approx 161,67$ м/с.

4. Дано:

Масса первого шара $m_1 = 1$ кг
Начальная скорость первого шара $\vec{v_1}$
Начальная скорость второго шара $\vec{v_2}$, причём $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$ и $\vec{v_2} = -\vec{v_1}$
Конечная скорость первого шара $v'_1 = 0$
Конечная скорость второго шара $\vec{v'_2}$, причём $|\vec{v'_2}| = v$ и направление $\vec{v'_2}$ совпадает с начальным направлением $\vec{v_1}$

Найти:

Масса второго шара $m_2$ - ?

Решение:

Для системы из двух шаров во время столкновения выполняется закон сохранения импульса. Выберем ось $Ox$, направленную по вектору начальной скорости первого шара $\vec{v_1}$.
Проекции скоростей на ось $Ox$ до столкновения: $v_{1x} = v$, $v_{2x} = -v$.
Проекции скоростей на ось $Ox$ после столкновения: $v'_{1x} = 0$, $v'_{2x} = v$ (покатился назад, т.е. в обратную своему первоначальному движению сторону, с прежней по модулю скоростью $\text{v}$).
Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:
$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}$
$m_1 v + m_2 (-v) = m_1 \cdot 0 + m_2 v$
$m_1 v - m_2 v = m_2 v$
Перенесем слагаемое с $m_2$ в правую часть:
$m_1 v = 2 m_2 v$
Так как $v \neq 0$, можем сократить на $\text{v}$:
$m_1 = 2 m_2$
Отсюда находим массу второго шара:
$m_2 = \frac{m_1}{2} = \frac{1 \text{ кг}}{2} = 0,5 \text{ кг}$.

Ответ: 0,5 кг.

5. Дано:

Масса человека $m_ч = 60$ кг
Масса мяча $m_м = 500$ г
Скорость мяча $v_м = 20$ м/с
Коэффициент трения $\mu = 0,05$
Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Перевод в СИ:
$m_м = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$

Найти:

Расстояние $\text{S}$ - ?

Решение:

1. Найдем скорость человека с мячом сразу после того, как он его поймал. Взаимодействие человека и мяча — неупругий удар. Для системы "человек-мяч" в горизонтальном направлении выполняется закон сохранения импульса:
$m_м v_м = (m_ч + m_м) u$, где $\text{u}$ — скорость человека с мячом.
$u = \frac{m_м v_м}{m_ч + m_м} = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с}}{60 \text{ кг} + 0,5 \text{ кг}} = \frac{10}{60,5} \text{ м/с}$.

2. Найдем расстояние, которое пройдет человек с мячом до остановки. Это можно сделать, используя закон сохранения энергии. Начальная кинетическая энергия системы "человек-мяч" полностью перейдет в работу силы трения: $A_{тр} = E_к$.
Работа силы трения: $A_{тр} = F_{тр} \cdot S = \mu N \cdot S = \mu (m_ч + m_м) g S$.
Кинетическая энергия: $E_к = \frac{(m_ч + m_м) u^2}{2}$.
Приравниваем: $\mu (m_ч + m_м) g S = \frac{(m_ч + m_м) u^2}{2}$.
Сокращаем $(m_ч + m_м)$ и выражаем $\text{S}$:
$S = \frac{u^2}{2 \mu g}$.
Подставим в эту формулу выражение для $\text{u}$ из первого пункта и числовые значения:
$S = \frac{(\frac{10}{60,5})^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 10} = \frac{100 / (60,5)^2}{1} = \frac{100}{3660,25} \approx 0,027 \text{ м}$.

Ответ: $\approx 0,027$ м.

6. Дано:

Масса плота $m_п = 800$ кг
Начальная скорость плота $v_п = 1$ м/с
Масса человека $m_ч = 80$ кг
Скорость человека $v_ч = 2$ м/с
Скорость человека перпендикулярна скорости плота.

Найти:

Конечная скорость плота с человеком $\text{u}$ - ?

Решение:

Система "плот-человек" является замкнутой, поэтому для нее выполняется закон сохранения импульса в векторной форме: $m_п \vec{v_п} + m_ч \vec{v_ч} = (m_п + m_ч) \vec{u}$.
Введем систему координат: ось $Ox$ направим по начальному движению плота, а ось $Oy$ — по направлению прыжка человека. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси:
Ось $Ox$: $m_п v_п + m_ч \cdot 0 = (m_п + m_ч) u_x$.
Ось $Oy$: $m_п \cdot 0 + m_ч v_ч = (m_п + m_ч) u_y$.
Отсюда найдем проекции конечной скорости $u_x$ и $u_y$:
$u_x = \frac{m_п v_п}{m_п + m_ч} = \frac{800 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}}{800 \text{ кг} + 80 \text{ кг}} = \frac{800}{880} = \frac{10}{11}$ м/с.
$u_y = \frac{m_ч v_ч}{m_п + m_ч} = \frac{80 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{800 \text{ кг} + 80 \text{ кг}} = \frac{160}{880} = \frac{2}{11}$ м/с.
Модуль конечной скорости найдем по теореме Пифагора:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{(\frac{10}{11})^2 + (\frac{2}{11})^2} = \sqrt{\frac{100}{121} + \frac{4}{121}} = \sqrt{\frac{104}{121}} = \frac{\sqrt{104}}{11} = \frac{\sqrt{4 \cdot 26}}{11} = \frac{2\sqrt{26}}{11}$ м/с.
Вычислим приближенное значение:
$u \approx \frac{2 \cdot 5,1}{11} \approx \frac{10,2}{11} \approx 0,93 \text{ м/с}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{26}}{11}$ м/с $\approx 0,93$ м/с.