Вариант 3, страница 111 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-6. Закон сохранения импульса. Контрольные работы - страница 111.

Условие.

Вариант 3

I

1. Шар массой 100 г движется со скоростью 5 м/с. После удара о стенку он стал двигаться в противоположном направлении со скоростью 4 м/с. Чему равно изменение импульса шара в результате удара о стенку?

2. Мальчик массой 20 кг, стоя на коньках, горизонтально бросает камень со скоростью 5 м/с. Чему равна скорость, с которой после броска поедет мальчик, если масса камня 1 кг?

II

3. Протон, движущийся со скоростью $2 \cdot 10^4$ м/с, столкнулся с неподвижным ядром атома гелия. Рассчитайте скорость ядра атома гелия после удара, если скорость протона уменьшилась до $0,8 \cdot 10^4$ м/с. Масса ядра атома гелия больше массы протона в 4 раза.

4. Из лодки, приближающейся к берегу со скоростью 0,5 м/с, на берег прыгнул человек со скоростью 2 м/с относительно берега. С какой скоростью будет двигаться лодка после прыжка человека, если масса человека 80 кг, а масса лодки 120 кг?

III

5. В тело массой 990 г, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля массой 10 г, которая летит горизонтально со скоростью 700 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью равен $0,05$?

6. Лодка массой 100 кг плывет без гребца вдоль пологого берега со скоростью 1 м/с. Мальчик массой 50 кг переходит с берега в лодку со скоростью 2 м/с так, что векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол. Определите скорость лодки с мальчиком.

Решение.

1. Дано:

Масса шара, $m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$
Начальная скорость, $v_1 = 5 \text{ м/с}$
Конечная скорость, $v_2 = 4 \text{ м/с}$

Найти:

Изменение импульса, $\Delta p - ?$

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ равно разности его конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$.
Импульс является векторной величиной. Выберем ось OX, направленную вдоль начального движения шара. Тогда проекция начальной скорости на эту ось $v_{1x} = 5 \text{ м/с}$.
После удара о стенку шар стал двигаться в противоположном направлении, поэтому проекция его конечной скорости на ось OX будет отрицательной: $v_{2x} = -4 \text{ м/с}$.
Изменение импульса в проекции на ось OX равно:$\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = m v_{2x} - m v_{1x} = m(v_{2x} - v_{1x})$.
Подставим числовые значения:
$\Delta p_x = 0,1 \text{ кг} \cdot (-4 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}) = 0,1 \text{ кг} \cdot (-9 \text{ м/с}) = -0,9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Знак минус показывает, что вектор изменения импульса направлен против оси OX. Модуль изменения импульса равен $|\Delta p_x| = 0,9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: $0,9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2. Дано:

Масса мальчика, $m_м = 20 \text{ кг}$
Масса камня, $m_к = 1 \text{ кг}$
Скорость камня, $v_к = 5 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость мальчика, $v_м - ?$

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "мальчик-камень". В начальный момент времени система покоилась, поэтому ее суммарный импульс был равен нулю.
$p_{до} = 0$.
После броска суммарный импульс системы равен векторной сумме импульсов мальчика и камня:$\vec{p}_{после} = m_м \vec{v}_м + m_к \vec{v}_к$.
Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$:$0 = m_м \vec{v}_м + m_к \vec{v}_к$.
Отсюда $m_м \vec{v}_м = -m_к \vec{v}_к$.
Спроецируем уравнение на горизонтальную ось, направленную в сторону броска камня:$m_м v_{мx} = -m_к v_к$.
$v_{мx} = -\frac{m_к v_к}{m_м}$.
Подставим значения:
$v_{мx} = -\frac{1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{20 \text{ кг}} = -0,25 \text{ м/с}$.
Знак минус означает, что мальчик поедет в направлении, противоположном броску камня. Его скорость (модуль скорости) будет равна $0,25 \text{ м/с}$.

Ответ: $0,25 \text{ м/с}$.

3. Дано:

Начальная скорость протона, $v_p = 2 \cdot 10^4 \text{ м/с}$
Конечная скорость протона, $v'_p = 0,8 \cdot 10^4 \text{ м/с}$
Начальная скорость ядра гелия, $v_{He} = 0 \text{ м/с}$
Масса ядра гелия, $m_{He} = 4 m_p$

Найти:

Конечная скорость ядра гелия, $v'_{He} - ?$

Решение:

Рассмотрим систему "протон-ядро гелия". По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. Будем считать столкновение центральным, и что протон продолжил движение в том же направлении.
Импульс системы до столкновения: $P_{до} = m_p v_p + m_{He} v_{He} = m_p v_p$.
Импульс системы после столкновения: $P_{после} = m_p v'_p + m_{He} v'_{He}$.
Приравниваем импульсы:$m_p v_p = m_p v'_p + m_{He} v'_{He}$.
Выразим скорость ядра гелия $v'_{He}$:
$m_{He} v'_{He} = m_p v_p - m_p v'_p = m_p(v_p - v'_p)$.
$v'_{He} = \frac{m_p(v_p - v'_p)}{m_{He}}$.
Подставим $m_{He} = 4 m_p$:
$v'_{He} = \frac{m_p(v_p - v'_p)}{4 m_p} = \frac{v_p - v'_p}{4}$.
Подставим числовые значения:
$v'_{He} = \frac{2 \cdot 10^4 \text{ м/с} - 0,8 \cdot 10^4 \text{ м/с}}{4} = \frac{1,2 \cdot 10^4 \text{ м/с}}{4} = 0,3 \cdot 10^4 \text{ м/с}$.

Ответ: $0,3 \cdot 10^4 \text{ м/с}$.

4. Дано:

Начальная скорость лодки и человека, $v_0 = 0,5 \text{ м/с}$
Масса человека, $m_ч = 80 \text{ кг}$
Масса лодки, $m_л = 120 \text{ кг}$
Скорость человека после прыжка (относительно берега), $v_ч = 2 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость лодки после прыжка, $v_л - ?$

Решение:

Применим закон сохранения импульса для системы "лодка-человек". Направим ось OX в сторону движения к берегу.
Импульс системы до прыжка: $P_{до} = (m_ч + m_л) v_0$.
Импульс системы после прыжка: $P_{после} = m_ч v_ч + m_л v_л$.
По закону сохранения импульса $P_{до} = P_{после}$:$(m_ч + m_л) v_0 = m_ч v_ч + m_л v_л$.
Выразим скорость лодки $v_л$ после прыжка:
$m_л v_л = (m_ч + m_л) v_0 - m_ч v_ч$.
$v_л = \frac{(m_ч + m_л) v_0 - m_ч v_ч}{m_л}$.
Подставим значения:
$v_л = \frac{(80 \text{ кг} + 120 \text{ кг}) \cdot 0,5 \text{ м/с} - 80 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{120 \text{ кг}} = \frac{200 \cdot 0,5 - 160}{120} \text{ м/с} = \frac{100 - 160}{120} \text{ м/с} = \frac{-60}{120} \text{ м/с} = -0,5 \text{ м/с}$.
Знак минус показывает, что лодка после прыжка будет двигаться в направлении от берега. Скорость лодки (модуль) составит $0,5 \text{ м/с}$.

Ответ: $0,5 \text{ м/с}$.

5. Дано:

Масса тела, $M = 990 \text{ г} = 0,99 \text{ кг}$
Масса пули, $m_п = 10 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}$
Скорость пули, $v_п = 700 \text{ м/с}$
Коэффициент трения, $\mu = 0,05$

Найти:

Путь, пройденный телом, $s - ?$

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала найдем скорость тела с застрявшей пулей сразу после попадания, используя закон сохранения импульса. Затем, используя закон сохранения энергии (или второй закон Ньютона), найдем тормозной путь.
1. Неупругое соударение. Импульс системы "тело-пуля" сохраняется.
$m_п v_п = (M + m_п) u$, где $\text{u}$ - скорость тела с пулей после соударения.
$u = \frac{m_п v_п}{M + m_п} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 700 \text{ м/с}}{0,99 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}} = \frac{7}{1} \text{ м/с} = 7 \text{ м/с}$.
2. Движение с трением. Кинетическая энергия тела с пулей переходит в работу силы трения: $\Delta E_к = A_{тр}$.
Начальная кинетическая энергия: $E_{к,нач} = \frac{(M+m_п)u^2}{2}$.
Конечная кинетическая энергия: $E_{к,кон} = 0$.
Работа силы трения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot s = -\mu N s = -\mu (M+m_п)g s$.
$E_{к,кон} - E_{к,нач} = A_{тр}$
$0 - \frac{(M+m_п)u^2}{2} = -\mu (M+m_п)g s$.
$\frac{u^2}{2} = \mu g s$.
Отсюда находим путь $\text{s}$. Примем $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.
$s = \frac{u^2}{2\mu g} = \frac{(7 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{49}{0,1 \cdot 9,8} = \frac{49}{0,98} = 50 \text{ м}$.

Ответ: $50 \text{ м}$.

6. Дано:

Масса лодки, $m_л = 100 \text{ кг}$
Скорость лодки, $v_л = 1 \text{ м/с}$
Масса мальчика, $m_м = 50 \text{ кг}$
Скорость мальчика, $v_м = 2 \text{ м/с}$
Угол между векторами скоростей $\alpha = 90^\circ$

Найти:

Скорость лодки с мальчиком, $u - ?$

Решение:

Применим закон сохранения импульса в векторной форме. Система "лодка-мальчик".
Суммарный импульс системы до взаимодействия равен векторной сумме импульсов лодки и мальчика: $\vec{P}_{до} = m_л \vec{v}_л + m_м \vec{v}_м$.
После того как мальчик оказался в лодке, они движутся вместе с некоторой скоростью $\vec{u}$. Импульс системы после взаимодействия: $\vec{P}_{после} = (m_л + m_м)\vec{u}$.
$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после} \implies m_л \vec{v}_л + m_м \vec{v}_м = (m_л + m_м)\vec{u}$.
Поскольку векторы $\vec{v}_л$ и $\vec{v}_м$ перпендикулярны, модуль суммарного начального импульса можно найти по теореме Пифагора:
$P_{до} = \sqrt{(m_л v_л)^2 + (m_м v_м)^2}$.
$P_{до} = \sqrt{(100 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с})^2 + (50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с})^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \cdot 100^2} = 100\sqrt{2} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Модуль конечного импульса равен $P_{после} = (m_л + m_м)u = (100 \text{ кг} + 50 \text{ кг})u = 150u$.
Приравниваем модули импульсов:
$150u = 100\sqrt{2}$.
$u = \frac{100\sqrt{2}}{150} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \text{ м/с}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3} \text{ м/с}$.