Вариант 1, страница 105 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

КР-5. Применение законов Ньютона. Контрольные работы - страница 105.

Условие.

КР-5. Применение законов Ньютона

Вариант 1

I

1. Рассчитайте силу, которая необходима для равномерного подъема вагонетки массой $600 \text{ кг}$ по эстакаде с углом наклона $20^{\circ}$. Трением пренебречь.

2. Каков вес груза массой $10 \text{ кг}$, находящегося на подставке, движущейся вверх с ускорением $2,5 \text{ м/с}^2$?

II

3. С сортировочной горки, высота которой равна $40 \text{ м}$, а длина — $400 \text{ м}$, начинает спускаться вагон. Определите скорость вагона в конце сортировочной горки, если коэффициент сопротивления движению вагона равен $0,05$.

4. Мальчик массой $50 \text{ кг}$ качается на качелях, длина подвеса которых равна $4 \text{ м}$. С какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью $6 \text{ м/с}$?

III

5. С наклонной плоскости, угол наклона которой $45^{\circ}$, соскальзывают два груза массой $2 \text{ кг}$ (движется первым) и $1 \text{ кг}$, соединенные пружиной жесткостью $100 \text{ Н/м}$. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно $0,2$ и $0,5$. Найдите растяжение пружины при соскальзывании грузов.

6. Брусок массой $400 \text{ г}$ под действием груза массой $100 \text{ г}$ (рис. 60) проходит из состояния покоя путь $80 \text{ см}$ за $2 \text{ с}$. Найдите коэффициент трения.

Рис. 60

Решение.

1. Дано:

$m = 600$ кг

$\alpha = 20^{\circ}$

$a = 0$ м/с$^2$ (равномерный подъем)

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

При равномерном движении по наклонной плоскости сила тяги $\text{F}$ должна уравновешивать проекцию силы тяжести на эту плоскость. На вагонетку действуют: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $\text{N}$, перпендикулярная плоскости, и сила тяги $\text{F}$, направленная вдоль плоскости вверх. Трением пренебрегаем.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вверх. Так как движение равномерное, ускорение $a=0$.

$F - mg \cdot \sin(\alpha) = ma = 0$

Отсюда выражаем силу $\text{F}$:

$F = mg \cdot \sin(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$F = 600 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(20^{\circ}) \approx 5880 \text{ Н} \cdot 0,342 \approx 2011 \text{ Н}$

Ответ: необходимая сила равна примерно 2011 Н (или 2,01 кН).

2. Дано:

$m = 10$ кг

$a = 2,5$ м/с$^2$ (направлено вверх)

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело действует на опору. По третьему закону Ньютона, вес тела равен по модулю силе реакции опоры $\text{N}$, действующей на тело. Найдем силу реакции опоры, используя второй закон Ньютона.

На груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх. Ускорение $\text{a}$ также направлено вверх. Выберем ось OY, направленную вверх. Второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

$N - mg = ma$

Отсюда выразим силу реакции опоры:

$N = mg + ma = m(g+a)$

Так как $P = N$, то:

$P = m(g+a)$

Подставим значения:

$P = 10 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 + 2,5 \text{ м/с}^2) = 10 \text{ кг} \cdot 12,3 \text{ м/с}^2 = 123 \text{ Н}$

Ответ: вес груза равен 123 Н.

3. Дано:

$h = 40$ м

$L = 400$ м

$v_0 = 0$ м/с

$\mu = 0,05$

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (силы трения).

$\Delta E = A_{тр}$

$(E_{k2} + E_{p2}) - (E_{k1} + E_{p1}) = A_{тр}$

В начале движения (положение 1) вагон находится на высоте $\text{h}$ и покоится: $E_{k1} = 0$, $E_{p1} = mgh$.

В конце спуска (положение 2) высота равна нулю, а скорость равна $\text{v}$: $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$, $E_{p2} = 0$.

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна и равна $A_{тр} = -F_{тр} \cdot L$.

Сила трения $F_{тр} = \mu N$. На наклонной плоскости сила реакции опоры $N = mg \cos(\alpha)$.

Найдем косинус угла наклона горки. $\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{40}{400} = 0,1$.

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,1^2} = \sqrt{0,99} \approx 0,995$.

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Подставляем все в уравнение энергии:

$\frac{mv^2}{2} - mgh = -(\mu mg \cos(\alpha)) \cdot L$

Сократим массу $\text{m}$:

$\frac{v^2}{2} - gh = - \mu g L \cos(\alpha)$

$\frac{v^2}{2} = gh - \mu g L \cos(\alpha)$

$v^2 = 2g(h - \mu L \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения:

$v^2 = 2 \cdot 9,8 \cdot (40 - 0,05 \cdot 400 \cdot 0,995) = 19,6 \cdot (40 - 19,9) = 19,6 \cdot 20,1 = 393,96$

$v = \sqrt{393,96} \approx 19,85$ м/с

Ответ: скорость вагона в конце горки примерно 19,85 м/с.

4. Дано:

$m = 50$ кг

$R = 4$ м

$v = 6$ м/с

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Сила, с которой мальчик давит на сиденье ($\text{P}$), равна по модулю силе реакции опоры ($\text{N}$), действующей на мальчика со стороны сиденья (третий закон Ньютона). Найдем $\text{N}$ из второго закона Ньютона.

В нижней точке траектории на мальчика действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции опоры $\text{N}$ (вверх). Мальчик движется по дуге окружности, поэтому у него есть центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (вверх). $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = ma_c$

$N - mg = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда $N = mg + m \frac{v^2}{R} = m(g + \frac{v^2}{R})$.

Так как $P=N$, подставляем значения:

$P = 50 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 + \frac{(6 \text{ м/с})^2}{4 \text{ м}}) = 50 \cdot (9,8 + \frac{36}{4}) = 50 \cdot (9,8 + 9) = 50 \cdot 18,8 = 940 \text{ Н}$

Ответ: мальчик давит на сиденье с силой 940 Н.

5. Дано:

$\alpha = 45^{\circ}$

$m_1 = 2$ кг

$m_2 = 1$ кг

$k = 100$ Н/м

$\mu_1 = 0,2$

$\mu_2 = 0,5$

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$\Delta x$ - ?

Решение:

Грузы движутся с одинаковым ускорением $\text{a}$. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вниз.

Для первого груза ($m_1$):

$m_1g\sin\alpha - F_{упр} - F_{тр1} = m_1a$

где $F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g \cos\alpha$.

$m_1g\sin\alpha - F_{упр} - \mu_1 m_1 g \cos\alpha = m_1a$ (1)

Для второго груза ($m_2$):

$m_2g\sin\alpha + F_{упр} - F_{тр2} = m_2a$

где $F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 m_2 g \cos\alpha$.

$m_2g\sin\alpha + F_{упр} - \mu_2 m_2 g \cos\alpha = m_2a$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2), чтобы найти ускорение системы $\text{a}$:

$(m_1+m_2)g\sin\alpha - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)g\cos\alpha = (m_1+m_2)a$

$a = g \frac{(m_1+m_2)\sin\alpha - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)\cos\alpha}{m_1+m_2}$

Так как $\alpha = 45^{\circ}$, то $\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$.

$a = g \sin\alpha \frac{m_1+m_2 - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)}{m_1+m_2} = 9,8 \cdot 0,707 \cdot \frac{2+1 - (0,2 \cdot 2 + 0,5 \cdot 1)}{2+1}$

$a = 6,929 \cdot \frac{3 - (0,4+0,5)}{3} = 6,929 \cdot \frac{2,1}{3} = 6,929 \cdot 0,7 \approx 4,85$ м/с$^2$

Теперь из уравнения (2) выразим силу упругости $F_{упр}$:

$F_{упр} = m_2a - m_2g\sin\alpha + \mu_2 m_2 g \cos\alpha = m_2(a - g\sin\alpha(1-\mu_2))$

$F_{упр} = 1 \cdot (4,85 - 9,8 \cdot 0,707 + 0,5 \cdot 1 \cdot 9,8 \cdot 0,707) = 4,85 - 6,929 + 3,464 \approx 1,385$ Н

По закону Гука $F_{упр} = k \Delta x$. Отсюда находим растяжение пружины $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{F_{упр}}{k} = \frac{1,385 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0,01385$ м

Переведем в сантиметры: $0,01385 \text{ м} \cdot 100 \approx 1,4$ см.

Ответ: растяжение пружины составляет примерно 1,4 см.

6. Дано:

$m_1 = 400$ г

$m_2 = 100$ г

$v_0 = 0$ м/с

$S = 80$ см

$t = 2$ с

$g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в СИ:

$m_1 = 0,4$ кг

$m_2 = 0,1$ кг

$S = 0,8$ м

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

1. Найдем ускорение системы из кинематической формулы пути для равноускоренного движения:

$S = v_0t + \frac{at^2}{2}$. Так как $v_0 = 0$, то $S = \frac{at^2}{2}$.

$a = \frac{2S}{t^2} = \frac{2 \cdot 0,8 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{1,6}{4} = 0,4$ м/с$^2$.

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела.

Для бруска ($m_1$), движущегося по горизонтальной поверхности:

Ось ОХ: $T - F_{тр} = m_1a$

Ось ОY: $N - m_1g = 0 \Rightarrow N=m_1g$

Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu m_1 g$.

Тогда $T - \mu m_1 g = m_1a$ (1)

Для подвешенного груза ($m_2$), движущегося вертикально вниз:

$m_2g - T = m_2a$ (2)

3. Решим систему уравнений. Из уравнения (2) выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = m_2g - m_2a = m_2(g-a)$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$m_2(g-a) - \mu m_1 g = m_1a$

Выразим искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu m_1 g = m_2(g-a) - m_1a$

$\mu = \frac{m_2(g-a) - m_1a}{m_1g}$

4. Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{0,1 \cdot (9,8 - 0,4) - 0,4 \cdot 0,4}{0,4 \cdot 9,8} = \frac{0,1 \cdot 9,4 - 0,16}{3,92} = \frac{0,94 - 0,16}{3,92} = \frac{0,78}{3,92} \approx 0,199$

Ответ: коэффициент трения равен примерно 0,2.