Вариант 2, страница 98 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Кинематика периодического движения - страница 98.

Условие.

Вариант 3

I

1. Определите период и частоту вращающегося диска, если он за $10 \text{ с}$ делает $40$ оборотов.

2. Какова скорость трамвайного вагона, движущегося по закруглению радиусом $50 \text{ м}$ с центростремительным ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$?

II

3. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 10 \cos \left(\frac{\pi}{24}t\right) \text{ см}$. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 8 \text{ с}$.

4. При равномерном движении по окружности тело за $2 \text{ с}$ проходит $5 \text{ м}$. Каково центростремительное ускорение тела, если период обращения равен $5 \text{ с}$?

III

5. Рассчитайте, во сколько раз скорость конца минутной стрелки больше скорости конца часовой стрелки, если минутная стрелка в $1,5$ раза длиннее часовой.

6. Тело равномерно движется по окружности радиусом $1 \text{ м}$. Определите период вращения тела по окружности, если центростремительное ускорение равно $4 \text{ м/с}^2$.

Решение.

1. Определите период и частоту вращающегося диска, если он за 10 с делает 40 оборотов.

Дано:
Время вращения, $t = 10$ с
Число оборотов, $N = 40$

Найти:

Период $T - ?$
Частоту $\nu - ?$

Решение:

Период вращения $\text{T}$ – это время, за которое совершается один полный оборот. Он рассчитывается по формуле:
$T = \frac{t}{N}$
Подставим данные из условия:
$T = \frac{10 \text{ с}}{40} = 0,25 \text{ с}$
Частота вращения $\nu$ – это число оборотов, совершаемых за единицу времени. Она рассчитывается по формуле:
$\nu = \frac{N}{t}$
Подставим данные из условия:
$\nu = \frac{40}{10 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$
Также частота является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$. Проверим: $\nu = \frac{1}{0,25 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$.

Ответ: Период вращения диска $T = 0,25$ с, частота вращения $\nu = 4$ Гц.

2. Какова скорость трамвайного вагона, движущегося по закруглению радиусом 50 м с центростремительным ускорением 0,5 м/с2?

Дано:
Радиус закругления, $R = 50$ м
Центростремительное ускорение, $a_c = 0,5$ м/с²

Найти:

Скорость $v - ?$

Решение:

Центростремительное ускорение связано с линейной скоростью и радиусом окружности формулой:
$a_c = \frac{v^2}{R}$
Из этой формулы выразим скорость $\text{v}$:
$v^2 = a_c \cdot R$
$v = \sqrt{a_c \cdot R}$
Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 50 \text{ м}} = \sqrt{25 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 5 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость трамвайного вагона равна 5 м/с.

3. Частица совершает гармонические колебания по закону $x = 10 \cos \frac{\pi}{24} t$ см. Определите координату частицы, модуль ее скорости и ускорения в момент времени $t = 8$ с.

Дано:
Уравнение движения, $x(t) = 10 \cos(\frac{\pi}{24}t)$ см
Момент времени, $t = 8$ с

В СИ:
$x(t) = 0,1 \cos(\frac{\pi}{24}t)$ м

Найти:

Координату $x(8) - ?$
Модуль скорости $|v(8)| - ?$
Модуль ускорения $|a(8)| - ?$

Решение:

1. Найдём координату частицы в момент времени $t = 8$ с, подставив значение времени в уравнение движения:
$x(8) = 10 \cos(\frac{\pi}{24} \cdot 8) = 10 \cos(\frac{\pi}{3})$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то:
$x(8) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
2. Скорость частицы $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени:
$v(t) = x'(t) = (10 \cos(\frac{\pi}{24}t))' = -10 \cdot \frac{\pi}{24} \sin(\frac{\pi}{24}t) = -\frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{24}t)$ см/с.
Подставим $t = 8$ с:
$v(8) = -\frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{24} \cdot 8) = -\frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{3})$
Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$v(8) = -\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{5\pi\sqrt{3}}{24}$ см/с.
Модуль скорости: $|v(8)| = \frac{5\pi\sqrt{3}}{24}$ см/с $\approx 1,13$ см/с.
3. Ускорение частицы $a(t)$ является второй производной от координаты $x(t)$ по времени (или первой от скорости):
$a(t) = v'(t) = (-\frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{24}t))' = -\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{\pi}{24} \cos(\frac{\pi}{24}t) = -\frac{5\pi^2}{288} \cos(\frac{\pi}{24}t)$ см/с².
Подставим $t = 8$ с:
$a(8) = -\frac{5\pi^2}{288} \cos(\frac{\pi}{24} \cdot 8) = -\frac{5\pi^2}{288} \cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{5\pi^2}{288} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5\pi^2}{576}$ см/с².
Модуль ускорения: $|a(8)| = \frac{5\pi^2}{576}$ см/с² $\approx 0,086$ см/с².

Ответ: В момент времени $t=8$ с координата частицы $x = 5$ см, модуль скорости $|v| = \frac{5\pi\sqrt{3}}{24}$ см/с, модуль ускорения $|a| = \frac{5\pi^2}{576}$ см/с².

4. При равномерном движении по окружности тело за 2 с проходит 5 м. Каково центростремительное ускорение тела, если период обращения равен 5 с?

Дано:
Время движения, $t = 2$ с
Пройденный путь, $S = 5$ м
Период обращения, $T = 5$ с

Найти:

Центростремительное ускорение $a_c - ?$

Решение:

Сначала найдём линейную скорость тела. При равномерном движении она постоянна по модулю:
$v = \frac{S}{t} = \frac{5 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 2,5$ м/с.
Центростремительное ускорение можно выразить через линейную скорость и период:
$a_c = \frac{2\pi v}{T}$
Эта формула получается из двух основных: $a_c = \frac{v^2}{R}$ и $v = \frac{2\pi R}{T}$. Из второй выражаем $R = \frac{vT}{2\pi}$ и подставляем в первую.
Подставим известные значения в формулу для ускорения:
$a_c = \frac{2\pi \cdot 2,5 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = \frac{5\pi}{5} \text{ м/с}^2 = \pi$ м/с².

Ответ: Центростремительное ускорение тела равно $\pi$ м/с² (приблизительно 3,14 м/с²).

5. Рассчитайте, во сколько раз скорость конца минутной стрелки больше скорости конца часовой стрелки, если минутная стрелка в 1,5 раза длиннее часовой.

Дано:
Отношение длин стрелок, $\frac{R_м}{R_ч} = 1,5$

Найти:

Отношение скоростей $\frac{v_м}{v_ч} - ?$

Решение:

Линейная скорость конца стрелки определяется по формуле $v = \omega R$, где $\omega$ - угловая скорость, а $\text{R}$ - длина стрелки.
Запишем отношение скоростей:
$\frac{v_м}{v_ч} = \frac{\omega_м R_м}{\omega_ч R_ч} = \frac{\omega_м}{\omega_ч} \cdot \frac{R_м}{R_ч}$
Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
Период обращения минутной стрелки $T_м = 1$ час.
Период обращения часовой стрелки $T_ч = 12$ часов.
Найдем отношение угловых скоростей:
$\frac{\omega_м}{\omega_ч} = \frac{2\pi/T_м}{2\pi/T_ч} = \frac{T_ч}{T_м} = \frac{12 \text{ ч}}{1 \text{ ч}} = 12$
Теперь подставим все известные отношения в формулу для отношения линейных скоростей:
$\frac{v_м}{v_ч} = 12 \cdot 1,5 = 18$

Ответ: Скорость конца минутной стрелки в 18 раз больше скорости конца часовой стрелки.

6. Тело равномерно движется по окружности радиусом 1 м. Определите период вращения тела по окружности, если центростремительное ускорение равно 4 м/с2.

Дано:
Радиус окружности, $R = 1$ м
Центростремительное ускорение, $a_c = 4$ м/с²

Найти:

Период вращения $T - ?$

Решение:

Центростремительное ускорение связано с периодом и радиусом формулой:
$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$
Эту формулу можно получить, подставив $v = \frac{2\pi R}{T}$ в $a_c = \frac{v^2}{R}$.
Выразим из этой формулы период $\text{T}$:
$T^2 = \frac{4\pi^2 R}{a_c}$
$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R}{a_c}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{a_c}}$
Подставим числовые значения:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{4 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{4} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \text{ с} = \pi \text{ с}$

Ответ: Период вращения тела равен $\pi$ с (приблизительно 3,14 с).