Вариант 2, страница 94 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-2. Свободное падение тел. Баллистическое движение - страница 94.

Условие.

Вариант 3

I

1. Найдите скорость, с которой тело упадет на поверхность земли, если оно свободно падает с высоты $5 \text{ м}$.

2. Пуля вылетает в горизонтальном направлении и летит со скоростью $800 \text{ м/с}$. На сколько снизится пуля в отвесном направлении во время полета, если расстояние до цели равно $600 \text{ м}$?

II

3. С какой скоростью вылетел шарик из пружинного пистолета, если после выстрела он поднялся на высоту $5 \text{ м}$?

4. Камень брошен под углом $30^{\circ}$ к горизонту со скоростью $10 \text{ м/с}$. Через какое время он будет на высоте $1 \text{ м}$?

III

5. Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за $1 \text{ с}$. С какой высоты падал камень?

6. Вертолет летит горизонтально со скоростью $180 \text{ км/ч}$ на высоте $500 \text{ м}$. С вертолета на теплоход нужно сбросить вымпел, движущийся встречным курсом со скоростью $24 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от теплохода летчик должен сбросить вымпел?

Решение.

1. Найдите скорость, с которой тело упадет на поверхность земли, если оно свободно падает с высоты 5 м.

Дано:

$h = 5$ м

$v_0 = 0$ м/с (свободное падение)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия тела $E_п = mgh$ при падении полностью переходит в кинетическую энергию $E_к = \frac{mv^2}{2}$ в момент соприкосновения с землей.

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Сократив массу $\text{m}$, получим:

$gh = \frac{v^2}{2}$

Выразим конечную скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м²/с²}} = 10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

2. Пуля вылетает в горизонтальном направлении и летит со скоростью 800 м/с. На сколько снизится пуля в отвесном направлении во время полета, если расстояние до цели равно 600 м?

Дано:

$v_x = 800$ м/с

$L = 600$ м

$v_{0y} = 0$ м/с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Движение пули можно рассматривать как два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное (свободное падение) по вертикали.

Сначала найдем время полета пули до цели. Так как по горизонтали пуля движется равномерно, время полета $\text{t}$ можно найти из формулы расстояния:

$L = v_x \cdot t$

Отсюда время $\text{t}$ равно:

$t = \frac{L}{v_x} = \frac{600 \text{ м}}{800 \text{ м/с}} = 0,75$ с.

За это время пуля снизится на высоту $\text{h}$. Движение по вертикали является свободным падением без начальной вертикальной скорости. Используем формулу:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Подставим найденное время и значение $\text{g}$:

$h = \frac{10 \text{ м/с²} \cdot (0,75 \text{ с})^2}{2} = 5 \text{ м/с²} \cdot 0,5625 \text{ с²} = 2,8125$ м.

Ответ: 2,8125 м.

3. С какой скоростью вылетел шарик из пружинного пистолета, если после выстрела он поднялся на высоту 5 м?

Дано:

$h_{max} = 5$ м

$v = 0$ м/с (скорость на максимальной высоте)

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

При движении шарика, выстреленного вертикально вверх, его начальная кинетическая энергия $E_к = \frac{mv_0^2}{2}$ переходит в потенциальную энергию $E_п = mgh_{max}$ на максимальной высоте. Согласно закону сохранения энергии:

$E_к = E_п$

$\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$

Сократив массу $\text{m}$, получим:

$\frac{v_0^2}{2} = gh_{max}$

Выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = 2gh_{max}$

$v_0 = \sqrt{2gh_{max}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м²/с²}} = 10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

4. Камень брошен под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время он будет на высоте 1 м?

Дано:

$\alpha = 30°$

$v_0 = 10$ м/с

$h = 1$ м

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Движение камня по вертикали описывается уравнением: $h(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_{0y}$ — начальная проекция скорости на вертикальную ось.

Найдем начальную вертикальную скорость:

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) = 10 \text{ м/с} \cdot \sin(30°) = 10 \text{ м/с} \cdot 0,5 = 5$ м/с.

Подставим известные значения в уравнение для высоты, чтобы найти время $\text{t}$:

$1 = 5t - \frac{10t^2}{2}$

$1 = 5t - 5t^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$5t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 25 - 20 = 5$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Это означает, что камень достигнет высоты 1 м дважды: при подъеме и при спуске.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \approx \frac{5 - 2,236}{10} \approx 0,276$ с.

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} \approx \frac{5 + 2,236}{10} \approx 0,724$ с.

Ответ: примерно через 0,28 с (при подъеме) и 0,72 с (при спуске).

5. Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за 1 с. С какой высоты падал камень?

Дано:

$\Delta t = 1$ с (время пролета последних 3/4 пути)

$v_0 = 0$ м/с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{H}$ - ?

Решение:

Пусть $\text{H}$ - полная высота падения, а $t_{полн}$ - полное время падения.

Время падения с высоты $\text{H}$ определяется формулой: $H = \frac{gt_{полн}^2}{2} \Rightarrow t_{полн} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Пусть $t_1$ - время, за которое камень пролетел первую четверть пути ($H/4$).

Время падения с высоты $H/4$ определяется формулой: $\frac{H}{4} = \frac{gt_1^2}{2} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2(H/4)}{g}} = \sqrt{\frac{H}{2g}}$.

По условию, время пролета последних трех четвертей пути $\Delta t = 1$ с. Это время равно разности полного времени падения и времени падения первой четверти пути: $\Delta t = t_{полн} - t_1$.

$\sqrt{\frac{2H}{g}} - \sqrt{\frac{H}{2g}} = 1$

Вынесем $\sqrt{\frac{H}{g}}$ за скобки:

$\sqrt{\frac{H}{g}}(\sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{2}}) = 1$

$\sqrt{\frac{H}{g}}(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1$

$\sqrt{\frac{H}{g}}(\frac{2-1}{\sqrt{2}}) = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{H}{g}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

$\sqrt{\frac{H}{2g}} = 1$

Возведем обе части в квадрат: $\frac{H}{2g} = 1$.

Выразим высоту $\text{H}$: $H = 2g$.

Подставим значение $\text{g}$: $H = 2 \cdot 10 \text{ м/с²} = 20$ м.

Ответ: 20 м.

6. Вертолет летит горизонтально со скоростью 180 км/ч на высоте 500 м. С вертолета на теплоход нужно сбросить вымпел, движущийся встречным курсом со скоростью 24 км/ч. На каком расстоянии от теплохода летчик должен сбросить вымпел?

Дано:

$v_в = 180$ км/ч

$h = 500$ м

$v_т = 24$ км/ч

$g \approx 10$ м/с²

Перевод в СИ:

$v_в = 180 \text{ км/ч} = 180 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 50$ м/с

$v_т = 24 \text{ км/ч} = 24 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{240}{36} \text{ м/с} = \frac{20}{3}$ м/с $\approx 6,67$ м/с

Найти:

$\text{L}$ - ?

Решение:

1. Найдем время падения вымпела $\text{t}$. По вертикали вымпел движется равноускоренно (свободное падение) с начальной вертикальной скоростью, равной нулю.

$h = \frac{gt^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 500 \text{ м}}{10 \text{ м/с²}}} = \sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10$ с.

2. За это время вымпел, имея начальную горизонтальную скорость вертолета $v_в$, пролетит по горизонтали расстояние $L_в$.

$L_в = v_в \cdot t = 50 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 500$ м.

3. За то же время $\text{t}$ теплоход, движущийся навстречу со скоростью $v_т$, пройдет расстояние $L_т$.

$L_т = v_т \cdot t = \frac{20}{3} \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = \frac{200}{3}$ м $\approx 66,7$ м.

4. Чтобы вымпел попал на теплоход, в момент сброса горизонтальное расстояние $\text{L}$ между вертолетом и теплоходом должно быть равно сумме расстояний, которые пролетят вымпел и теплоход до точки встречи.

$L = L_в + L_т = 500 \text{ м} + \frac{200}{3} \text{ м} = \frac{1500 + 200}{3} = \frac{1700}{3}$ м $\approx 566,7$ м.

Ответ: примерно на расстоянии 566,7 м.