Вариант 2, страница 90 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-1. Прямолинейное движение - страница 90.

Условие.

Вариант 3

I

1. Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 250 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Определите, через какое время встретятся автомобили, если их скорости соответственно равны $60 \text{ км}/\text{ч}$ и $40 \text{ км}/\text{ч}$.

2. Троллейбус трогается с места с ускорением $1,2 \text{ м}/\text{с}^2$. Какую скорость приобретает троллейбус за 10 с?

3. Рассчитайте ускорение поезда, движущегося со скоростью $18 \text{ км}/\text{ч}$, если он, начав торможение, останавливается в течение 10 с.

II

4. Катер переправляется через реку. Скорость течения равна $3 \text{ м}/\text{с}$, скорость катера в стоячей воде — $6 \text{ м}/\text{с}$. Определите угол между векторами скорости катера относительно воды и скорости течения, если катер переплывает реку по кратчайшему пути.

5. Автомобиль, движущийся со скоростью $36 \text{ км}/\text{ч}$, начинает тормозить и останавливается через 2 с. Каков тормозной путь автомобиля?

6. Чему равно ускорение пули, которая, пробив стену толщиной 35 см, уменьшила свою скорость с $800 \text{ м}/\text{с}$ до $400 \text{ м}/\text{с}$?

III

7. Первую треть пути велосипедист ехал со скоростью $15 \text{ км}/\text{ч}$. Средняя скорость велосипедиста на всем пути равна $20 \text{ км}/\text{ч}$. С какой скоростью он ехал оставшуюся часть пути?

8. Двигаясь из состояния покоя, автомобиль за первые 5 с проходит 25 м. Рассчитайте путь, пройденный автомобилем за десятую секунду после начала движения.

9. При остановке автобус за последнюю секунду проехал половину тормозного пути. Каково полное время торможения автобуса?

Решение.

1. Дано
$S = 250 \text{ км}$
$v_1 = 60 \text{ км/ч}$
$v_2 = 40 \text{ км/ч}$
Перевод в СИ:
$S = 250 \cdot 1000 = 250000 \text{ м}$
$v_1 = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16.67 \text{ м/с}$
$v_2 = 40 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{100}{9} \text{ м/с} \approx 11.11 \text{ м/с}$
Найти:
$\text{t}$ - ?
Решение
Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. Расчет удобнее производить в км/ч.
Скорость сближения:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$
Время до встречи определяется как отношение расстояния к скорости сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{250 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ ч}$

Ответ: автомобили встретятся через 2,5 часа.

2. Дано
$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (трогается с места)
$a = 1.2 \text{ м/с}^2$
$t = 10 \text{ с}$
Найти:
$\text{v}$ - ?
Решение
Скорость тела при равноускоренном движении определяется по формуле:
$v = v_0 + at$
Подставим данные значения:
$v = 0 + 1.2 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 12 \text{ м/с}$

Ответ: троллейбус приобретет скорость 12 м/с.

3. Дано
$v_0 = 18 \text{ км/ч}$
$v = 0 \text{ м/с}$ (останавливается)
$t = 10 \text{ с}$
Перевод в СИ:
$v_0 = 18 \cdot \frac{1000}{3600} = 5 \text{ м/с}$
Найти:
$\text{a}$ - ?
Решение
Ускорение при равноускоренном (в данном случае, равнозамедленном) движении находится по формуле:
$a = \frac{v - v_0}{t}$
Подставим значения:
$a = \frac{0 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = -0.5 \text{ м/с}^2$
Знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости (торможение).

Ответ: ускорение поезда равно -0,5 м/с².

4. Дано
$v_{теч} = 3 \text{ м/с}$
$v_{кат/вода} = 6 \text{ м/с}$
Условие: катер переплывает реку по кратчайшему пути.
Найти:
$\alpha$ - угол между векторами $\vec{v}_{кат/вода}$ и $\vec{v}_{теч}$
Решение
Кратчайший путь через реку — это путь, перпендикулярный берегам. Это означает, что результирующая скорость катера относительно берега ($\vec{v}_{кат}$) должна быть перпендикулярна скорости течения ($\vec{v}_{теч}$).
Результирующая скорость является векторной суммой скорости катера относительно воды и скорости течения: $\vec{v}_{кат} = \vec{v}_{кат/вода} + \vec{v}_{теч}$.
Чтобы вектор $\vec{v}_{кат}$ был перпендикулярен вектору $\vec{v}_{теч}$, катер должен двигаться под некоторым углом против течения. Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, в котором:
- гипотенуза — скорость катера относительно воды, $v_{кат/вода} = 6 \text{ м/с}$;
- один катет — скорость течения, $v_{теч} = 3 \text{ м/с}$;
- второй катет — результирующая скорость катера относительно берега, $v_{кат}$.
Искомый угол $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{v}_{кат/вода}$ и $\vec{v}_{теч}$. Вектор $\vec{v}_{кат/вода}$ должен быть направлен так, чтобы его проекция на направление течения компенсировала скорость течения. Из векторного треугольника видно, что косинус угла между гипотенузой и прилежащим катетом (вектором скорости течения) будет отрицательным, так как катер плывет против течения. Если рассмотреть угол $\beta$ между направлением против течения и вектором скорости катера, то $\cos \beta = \frac{v_{теч}}{v_{кат/вода}} = \frac{3}{6} = 0.5$, откуда $\beta = 60^\circ$.
Тогда угол $\alpha$ между вектором скорости течения и вектором скорости катера относительно воды будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: угол равен 120°.

5. Дано
$v_0 = 36 \text{ км/ч}$
$v = 0 \text{ м/с}$
$t = 2 \text{ с}$
Перевод в СИ:
$v_0 = 36 \cdot \frac{1000}{3600} = 10 \text{ м/с}$
Найти:
$\text{S}$ - ?
Решение
При равнозамедленном движении тормозной путь можно найти по формуле средней скорости:
$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
Подставляем числовые значения:
$S = \frac{10 \text{ м/с} + 0 \text{ м/с}}{2} \cdot 2 \text{ с} = 5 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 10 \text{ м}$

Ответ: тормозной путь автомобиля равен 10 м.

6. Дано
$S = 35 \text{ см}$
$v_0 = 800 \text{ м/с}$
$v = 400 \text{ м/с}$
Перевод в СИ:
$S = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$
Найти:
$\text{a}$ - ?
Решение
Для нахождения ускорения используем формулу, не содержащую время, так как оно неизвестно:
$S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$
Выразим из нее ускорение $\text{a}$:
$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2S}$
Подставим значения:
$a = \frac{(400 \text{ м/с})^2 - (800 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0.35 \text{ м}} = \frac{160000 - 640000}{0.7} = \frac{-480000}{0.7} \approx -685714 \text{ м/с}^2$
Ускорение отрицательно, так как скорость пули уменьшается.

Ответ: ускорение пули примерно равно -685714 м/с².

7. Дано
$S_1 = S/3$
$v_1 = 15 \text{ км/ч}$
$S_2 = 2S/3$
$v_{ср} = 20 \text{ км/ч}$
Найти:
$v_2$ - ?
Решение
Средняя скорость определяется как отношение всего пути ко всему времени движения: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.
Весь путь $S_{общ} = S$.
Общее время $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/3}{15} = \frac{S}{45}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2S/3}{v_2} = \frac{2S}{3v_2}$.
Подставим в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{45} + \frac{2S}{3v_2}}$
Сократим $\text{S}$ в числителе и знаменателе:
$20 = \frac{1}{\frac{1}{45} + \frac{2}{3v_2}}$
$\frac{1}{20} = \frac{1}{45} + \frac{2}{3v_2}$
$\frac{2}{3v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45} = \frac{9 - 4}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$
$\frac{2}{3v_2} = \frac{1}{36}$
$3v_2 = 2 \cdot 36 = 72$
$v_2 = \frac{72}{3} = 24 \text{ км/ч}$

Ответ: оставшуюся часть пути велосипедист ехал со скоростью 24 км/ч.

8. Дано
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$S(5 \text{ с}) = 25 \text{ м}$
Найти:
$\Delta S_{10}$ - путь за 10-ю секунду.
Решение
Сначала найдем ускорение автомобиля из данных о движении за первые 5 секунд. Формула пути при равноускоренном движении из состояния покоя:
$S = \frac{at^2}{2}$
$a = \frac{2S}{t^2} = \frac{2 \cdot 25 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{50}{25} = 2 \text{ м/с}^2$
Путь, пройденный за десятую секунду, равен разности путей, пройденных за 10 секунд и за 9 секунд:
$\Delta S_{10} = S(10) - S(9)$
$S(10) = \frac{a(10)^2}{2} = \frac{2 \cdot 100}{2} = 100 \text{ м}$
$S(9) = \frac{a(9)^2}{2} = \frac{2 \cdot 81}{2} = 81 \text{ м}$
$\Delta S_{10} = 100 \text{ м} - 81 \text{ м} = 19 \text{ м}$

Ответ: за десятую секунду автомобиль прошел 19 м.

9. Решение
Пусть полное время торможения автобуса равно $\text{T}$, а полный тормозной путь равен $\text{S}$. Движение равнозамедленное, конечная скорость равна нулю. Рассмотрим движение в обратном направлении времени: автобус начинает движение из состояния покоя с постоянным ускорением $\text{a}$ и за время $\text{T}$ проходит путь $\text{S}$. В этом случае путь, пройденный за первую секунду, будет равен пути, пройденному за последнюю секунду при торможении, то есть $S/2$.
Путь, пройденный за первую секунду из состояния покоя:
$S_1 = \frac{a(1)^2}{2} = \frac{a}{2}$
По условию $S_1 = S/2$, следовательно $\frac{a}{2} = \frac{S}{2}$, откуда $a = S$.
Полный путь $\text{S}$ за время $\text{T}$ определяется формулой:
$S = \frac{aT^2}{2}$
Подставим в эту формулу $S=a$:
$a = \frac{aT^2}{2}$
Так как ускорение $a \ne 0$, можно сократить:
$1 = \frac{T^2}{2}$
$T^2 = 2$
$T = \sqrt{2} \text{ с} \approx 1.41 \text{ с}$

Ответ: полное время торможения автобуса равно $\sqrt{2}$ с (примерно 1,41 с).