Вариант 3, страница 88 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-29. Электроемкость. Энергия электростатического поля. Самостоятельные работы - страница 88.

Условие.

Вариант 3

1. Диэлектриком в конденсаторе служит парафинированная бумага толщиной 0,15 мм с пробивной напряженностью $15 \cdot 10^6 \text{ Н/Кл}$. Каково максимально допустимое напряжение, которое можно подвести к конденсатору при запасе электрической прочности 2,25?

2. Конденсатор емкостью $8 \text{ мкФ}$ подключен к источнику тока напряжением $100 \text{ В}$. Вычислите работу, совершенную при вдвигании в конденсатор пластины с диэлектрической проницаемостью, равной 4. Пластина заполняет весь объем конденсатора.

Решение.

1. Дано:

Толщина диэлектрика, $d = 0,15$ мм
Пробивная напряженность, $E_{пр} = 15 \cdot 10^6$ Н/Кл
Запас электрической прочности, $k = 2,25$

Перевод в систему СИ:
$d = 0,15 \cdot 10^{-3}$ м
$E_{пр} = 15 \cdot 10^6$ В/м

Найти:
Максимально допустимое напряжение, $U_{max}$

Решение:
Пробивное напряжение $U_{пр}$ — это напряжение, при котором происходит электрический пробой диэлектрика. Для однородного поля в плоском конденсаторе оно связано с пробивной напряженностью электрического поля $E_{пр}$ и толщиной диэлектрика $\text{d}$ (расстоянием между обкладками) следующим соотношением:
$U_{пр} = E_{пр} \cdot d$
Подставим числовые значения для расчета пробивного напряжения:
$U_{пр} = 15 \cdot 10^6 \, \text{В/м} \cdot 0,15 \cdot 10^{-3} \, \text{м} = 2,25 \cdot 10^3 \, \text{В} = 2250 \, \text{В}$
Максимально допустимое рабочее напряжение $U_{max}$ на конденсаторе определяется с учетом коэффициента запаса электрической прочности $\text{k}$. Этот коэффициент показывает, во сколько раз пробивное напряжение должно быть больше рабочего:
$U_{max} = \frac{U_{пр}}{k}$
Вычислим максимально допустимое напряжение:
$U_{max} = \frac{2250 \, \text{В}}{2,25} = 1000 \, \text{В}$

Ответ: Максимально допустимое напряжение, которое можно подвести к конденсатору, составляет 1000 В.

2. Дано:

Начальная емкость конденсатора, $C_0 = 8$ мкФ
Напряжение источника, $U = 100$ В
Диэлектрическая проницаемость пластины, $\varepsilon = 4$

Перевод в систему СИ:
$C_0 = 8 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:
Работа, совершенная при вдвигании пластины, $\text{A}$

Решение:
Так как конденсатор остается подключенным к источнику тока, напряжение на его обкладках в процессе вдвигания диэлектрической пластины остается постоянным и равным $U = 100$ В.
Работа, совершаемая при вдвигании диэлектрика, — это работа сил электрического поля по втягиванию пластины в пространство между обкладками. Эту работу можно найти, рассмотрев закон сохранения энергии для системы "конденсатор-источник".
Работа, совершенная источником тока ($A_{ист}$), расходуется на изменение энергии, запасенной в конденсаторе ($\Delta W_C$), и на совершение механической работы ($\text{A}$) по вдвиганию пластины:
$A_{ист} = \Delta W_C + A$
Найдем каждую из величин.
Начальная энергия конденсатора (с воздухом в качестве диэлектрика):
$W_0 = \frac{C_0 U^2}{2}$
Когда пластина с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ полностью заполняет объем конденсатора, его емкость увеличивается в $\varepsilon$ раз:
$C = \varepsilon C_0$
Конечная энергия конденсатора:
$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{\varepsilon C_0 U^2}{2}$
Изменение энергии конденсатора равно:
$\Delta W_C = W - W_0 = \frac{\varepsilon C_0 U^2}{2} - \frac{C_0 U^2}{2} = \frac{C_0 U^2}{2}(\varepsilon - 1)$
При увеличении емкости конденсатора от источника поступает дополнительный заряд $\Delta q$, чтобы поддержать напряжение постоянным.
$\Delta q = q - q_0 = C U - C_0 U = (\varepsilon C_0) U - C_0 U = C_0 U (\varepsilon - 1)$
Работа источника по перемещению этого заряда:
$A_{ист} = \Delta q \cdot U = C_0 U^2 (\varepsilon - 1)$
Теперь из уравнения энергетического баланса выразим искомую работу $\text{A}$:
$A = A_{ист} - \Delta W_C = C_0 U^2 (\varepsilon - 1) - \frac{C_0 U^2}{2}(\varepsilon - 1) = \frac{C_0 U^2}{2}(\varepsilon - 1)$
Как видим, работа по вдвиганию диэлектрика (при постоянном напряжении) численно равна увеличению энергии конденсатора.
Подставим числовые значения:
$A = \frac{(8 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}) \cdot (100 \, \text{В})^2}{2}(4 - 1) = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 10000 \cdot 3 = 12 \cdot 10^{-2} \, \text{Дж} = 0,12 \, \text{Дж}$

Ответ: Работа, совершенная при вдвигании пластины, равна 0,12 Дж.