Вариант 2, страница 86 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле - страница 86.

Условие.

Вариант 3

1. Во сколько раз надо изменить значение каждого из двух одинаковых зарядов, чтобы при погружении в воду сила их взаимодействия при том же расстоянии между ними была такая же, как в воздухе? Диэлектрическая проницаемость воды равна 81.

2. На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 10 см и 50 см находятся одинаковые заряды по 0,02 мкКл. Найдите напряженность электростатического поля на расстоянии 30 см от общего центра сфер. Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2,1.

Решение.

1. Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов в некоторой среде описывается законом Кулона:

$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

где $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = k$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона (электрическая постоянная), $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды, $q_1$ и $q_2$ - величины зарядов, а $\text{r}$ - расстояние между ними.

Пусть первоначальные одинаковые заряды равны $\text{q}$. В воздухе диэлектрическую проницаемость можно принять равной $\varepsilon_{возд} \approx 1$. Тогда сила их взаимодействия равна:

$F_{возд} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q \cdot q}{r^2} = \frac{k q^2}{r^2}$

При погружении зарядов в воду их значения изменяются на $q'$. Диэлектрическая проницаемость воды по условию $\varepsilon_{воды} = 81$. Сила взаимодействия в воде при том же расстоянии $\text{r}$ будет:

$F_{воды} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{воды}} \frac{q' \cdot q'}{r^2} = \frac{k (q')^2}{\varepsilon_{воды} r^2}$

Согласно условию задачи, сила взаимодействия в воде должна быть такой же, как в воздухе: $F_{воды} = F_{возд}$.

$\frac{k (q')^2}{\varepsilon_{воды} r^2} = \frac{k q^2}{r^2}$

Подставим значение $\varepsilon_{воды} = 81$ и сократим одинаковые множители ($\text{k}$ и $r^2$):

$\frac{(q')^2}{81} = q^2$

Выразим $(q')^2$:

$(q')^2 = 81 q^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти соотношение между новым и старым зарядом:

$q' = \sqrt{81} q = 9q$

Таким образом, чтобы сила взаимодействия осталась прежней, величину каждого заряда необходимо увеличить в 9 раз.

Ответ: Значение каждого из зарядов надо увеличить в 9 раз.

2. Дано:

Радиус внутренней сферы, $R_1 = 10 \text{ см}$
Радиус внешней сферы, $R_2 = 50 \text{ см}$
Заряд на внутренней сфере, $q_1 = 0,02 \text{ мкКл}$
Заряд на внешней сфере, $q_2 = 0,02 \text{ мкКл}$
Расстояние от общего центра, $r = 30 \text{ см}$
Диэлектрическая проницаемость керосина, $\varepsilon = 2,1$
Электрическая постоянная, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:
$R_1 = 0,1 \text{ м}$
$R_2 = 0,5 \text{ м}$
$q_1 = q_2 = 0,02 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$
$r = 0,3 \text{ м}$

Найти:

Напряженность электростатического поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра.

Решение:

Для нахождения напряженности электростатического поля, создаваемого системой заряженных концентрических сфер, применяется теорема Гаусса. Напряженность поля на расстоянии $\text{r}$ от центра определяется суммарным зарядом, заключенным внутри мысленной сферы (поверхности Гаусса) радиусом $\text{r}$.

Искомая точка находится на расстоянии $r = 30 \text{ см}$ от центра. Это расстояние больше радиуса внутренней сферы ($R_1 = 10 \text{ см}$) и меньше радиуса внешней сферы ($R_2 = 50 \text{ см}$), то есть выполняется условие $R_1 < r < R_2$.

Согласно теореме Гаусса для поля со сферической симметрией, напряженность в точке на расстоянии $\text{r}$ от центра создается только теми зарядами, которые находятся внутри сферы радиусом $\text{r}$. Заряд внешней сферы $q_2$ расположен за пределами этой гауссовой поверхности и, следовательно, не вносит вклада в поле в данной точке (поле внутри заряженной сферы равно нулю).

Таким образом, заряд, создающий поле в искомой точке, равен заряду внутренней сферы: $Q_{внутр} = q_1$.

Напряженность поля в диэлектрической среде (керосине) вычисляется по формуле:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{Q_{внутр}}{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \frac{q_1}{r^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$E = \frac{9 \cdot 10^9}{2,1} \frac{2 \cdot 10^{-8}}{(0,3)^2} = \frac{18 \cdot 10^1}{2,1 \cdot 0,09} = \frac{180}{0,189}$

$E \approx 952,38 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: Напряженность электростатического поля на расстоянии 30 см от общего центра сфер равна приблизительно 952,4 В/м.