Вариант 4, страница 86 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-28. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле. Самостоятельные работы - страница 86.

Условие.

Вариант 4

1. Во сколько раз надо изменить значение каждого из двух одинаковых зарядов, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия при том же расстоянии между ними осталась бы такая же, как в воздухе? Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2,1.

2. На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 20 см и 40 см находятся заряды 0,2 мкКл и –0,3 мкКл соответственно. Найдите напряженность электростатического поля на расстоянии 60 см от поверхности внешней сферы.

Решение.

1. Решение

Сила взаимодействия двух одинаковых точечных зарядов $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$ друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ определяется законом Кулона:

$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q^2}{r^2}$

где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная.

Пусть первоначальное значение зарядов в воздухе равно $q_1$. Диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon_{воздуха} \approx 1$. Сила взаимодействия в воздухе:

$F_{воздух} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{воздуха}} \frac{q_1^2}{r^2} \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1^2}{r^2}$

Пусть новое значение зарядов в керосине равно $q_2$. Диэлектрическая проницаемость керосина $\varepsilon_{керосина} = 2,1$. Сила взаимодействия в керосине при том же расстоянии $\text{r}$:

$F_{керосин} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{керосина}} \frac{q_2^2}{r^2}$

По условию задачи, сила взаимодействия должна остаться прежней, то есть $F_{воздух} = F_{керосин}$.

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{воздуха}} \frac{q_1^2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{керосина}} \frac{q_2^2}{r^2}$

Сократив одинаковые множители ($ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $ и $r^2$), получим:

$\frac{q_1^2}{\varepsilon_{воздуха}} = \frac{q_2^2}{\varepsilon_{керосина}}$

Отсюда находим отношение $\frac{q_2}{q_1}$, которое покажет, во сколько раз нужно изменить заряд:

$q_2^2 = q_1^2 \cdot \frac{\varepsilon_{керосина}}{\varepsilon_{воздуха}}$

$\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2 = \frac{\varepsilon_{керосина}}{\varepsilon_{воздуха}} = \frac{2,1}{1} = 2,1$

$\frac{q_2}{q_1} = \sqrt{2,1} \approx 1,45$

Таким образом, значение каждого из зарядов необходимо увеличить в $\sqrt{2,1}$ раз.

Ответ: Значение каждого заряда нужно увеличить в $\sqrt{2,1} \approx 1,45$ раз.

2. Дано
Радиус внутренней сферы, $R_1 = 20 \text{ см}$
Радиус внешней сферы, $R_2 = 40 \text{ см}$
Заряд внутренней сферы, $q_1 = 0,2 \text{ мкКл}$
Заряд внешней сферы, $q_2 = -0,3 \text{ мкКл}$
Расстояние от поверхности внешней сферы, $d = 60 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$R_1 = 0,2 \text{ м}$
$R_2 = 0,4 \text{ м}$
$q_1 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_2 = -0,3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$d = 0,6 \text{ м}$

Найти: Напряженность электростатического поля $\text{E}$.

Решение

Согласно теореме Гаусса, для точки, находящейся вне сферически симметричного распределения зарядов, напряженность электростатического поля такая же, как у точечного заряда, равного суммарному заряду внутри сферы, помещенного в ее центр.

Точка, в которой требуется найти напряженность, находится вне обеих сфер. Поэтому мы можем рассматривать систему как точечный заряд, равный сумме зарядов обеих сфер, расположенный в их общем центре.

1. Найдем суммарный заряд системы:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} + (-0,3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) = -0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = -1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

2. Найдем расстояние от центра сфер до искомой точки. Оно равно сумме радиуса внешней сферы и расстояния от ее поверхности:

$r = R_2 + d = 0,4 \text{ м} + 0,6 \text{ м} = 1,0 \text{ м}$

3. Рассчитаем напряженность поля по формуле для точечного заряда:

$E = k \frac{|Q_{общ}|}{r^2}$

где $\text{k}$ - постоянная Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Подставим числовые значения:

$E = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{|-1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}|}{(1,0 \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-7}}{1} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 9 \cdot 10^2 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 900 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: Напряженность электростатического поля равна $900 \text{ Н/Кл}$ (или $900 \text{ В/м}$).