Вариант 5, страница 85 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-27. Работа сил электростатического поля. Потенциал - страница 85.

Условие.

Вариант 5

1. Точечный заряд $q = 2 \text{ мкКл}$ перемещается в поле отрицательного заряда $\text{Q}$ по некоторой траектории. Первоначальное расстояние между зарядами равно $60 \text{ см}$, конечное — $30 \text{ см}$. Работа, совершенная электростатическим полем над зарядом $\text{q}$, равна $-0,09 \text{ Дж}$. Рассчитайте величину заряда $\text{Q}$.

2. Электрон летит от точки $\text{A}$ к точке $\text{B}$, между которыми разность потенциалов равна $100 \text{ В}$. Какую скорость будет иметь электрон в точке $\text{B}$, если его скорость в точке $\text{A}$ была равна нулю?

Решение.

1. Точечный заряд q = 2 мкКл перемещается в поле отрицательного заряда Q по некоторой траектории. Первоначальное расстояние между зарядами равно 60 см, конечное — 30 см. Работа, совершенная электростатическим полем над зарядом q, равна –0,09 Дж. Рассчитайте величину заряда Q.

Дано:

$q = 2 \text{ мкКл} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$r_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$r_2 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$
$A = -0.09 \text{ Дж}$
$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ (постоянная Кулона)

Найти:

$\text{Q}$ — ?

Решение:

Работа, совершаемая электростатическим полем при перемещении заряда $\text{q}$ из точки с потенциалом $\phi_1$ в точку с потенциалом $\phi_2$, вычисляется по формуле:

$A = q(\phi_1 - \phi_2)$

Потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{Q}$ на расстоянии $\text{r}$, равен:

$\phi = k \frac{Q}{r}$

Следовательно, потенциалы в начальной и конечной точках траектории заряда $\text{q}$ равны:

$\phi_1 = k \frac{Q}{r_1}$ и $\phi_2 = k \frac{Q}{r_2}$

Подставим выражения для потенциалов в формулу для работы:

$A = q \left( k \frac{Q}{r_1} - k \frac{Q}{r_2} \right) = kqQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

Из этого соотношения выразим искомый заряд $\text{Q}$:

$Q = \frac{A}{kq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$Q = \frac{-0.09}{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \left( \frac{1}{0.6} - \frac{1}{0.3} \right)} = \frac{-0.09}{18 \cdot 10^3 \left( \frac{1-2}{0.6} \right)} = \frac{-0.09}{18 \cdot 10^3 \left( -\frac{1}{0.6} \right)}$

$Q = \frac{0.09 \cdot 0.6}{18 \cdot 10^3} = \frac{0.054}{18 \cdot 10^3} = 0.003 \cdot 10^{-3} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Расчет показывает, что заряд $\text{Q}$ равен $3 \text{ мкКл}$. Стоит отметить, что полученное значение является положительным, что противоречит условию задачи, в котором указано, что заряд $\text{Q}$ отрицательный. Это может свидетельствовать о наличии неточности в исходных данных задачи (например, в знаке работы). Однако, основываясь на приведенных числовых значениях, результат является верным.

Ответ: $Q = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 3 \text{ мкКл}$.

2. Электрон летит от точки А к точке В, между которыми разность потенциалов равна 100 В. Какую скорость будет иметь электрон в точке В, если его скорость в точке А была равна нулю?

Дано:

Частица: электрон
Заряд электрона $q = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса электрона $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Разность потенциалов $U = 100 \text{ В}$
Начальная скорость $v_A = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$v_B$ — ?

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершенная электростатическим полем над заряженной частицей, равна изменению ее кинетической энергии:

$A = \Delta K = K_B - K_A$

Работа поля по перемещению заряда $\text{q}$ через разность потенциалов $\text{U}$ определяется как $A = qU$. Поскольку электрон ($q < 0$) ускоряется, двигаясь из состояния покоя, работа поля над ним должна быть положительной. Это означает, что электрон движется из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом. Следовательно, для вычисления работы мы используем модуль заряда электрона $\text{e}$:

$A = eU$

Кинетическая энергия в начальной и конечной точках:

$K_A = \frac{m_e v_A^2}{2} = 0$, так как $v_A = 0$.

$K_B = \frac{m_e v_B^2}{2}$

Приравниваем работу и изменение кинетической энергии:

$eU = \frac{m_e v_B^2}{2}$

Отсюда выражаем искомую скорость $v_B$:

$v_B^2 = \frac{2eU}{m_e}$

$v_B = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Подставим числовые значения:

$v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 100 \text{ В}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{3.2 \cdot 10^{-17}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с}$

$v_B \approx \sqrt{0.3516 \cdot 10^{14}} \text{ м/с} \approx \sqrt{35.16 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} \approx 5.93 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость электрона в точке В будет равна примерно $5.93 \cdot 10^6 \text{ м/с}$.