Вариант 5, страница 84 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-26. Напряженность электростатического поля. Самостоятельные работы - страница 84.

Условие.

Вариант 5

1. Два заряда, один из которых в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии $\text{a}$ друг от друга. В какой точке пространства напряженность поля равна нулю, если заряды разноименные?

2. Расстояние между зарядами $6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл и $-6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл равно 12 см. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 8 см от каждого из зарядов.

Решение.

1. Два заряда, один из которых в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии a друг от друга. В какой точке пространства напряженность поля равна нулю, если заряды разноименные?

Решение

Пусть у нас есть два разноименных заряда, $q_1$ и $q_2$, расположенные на расстоянии $\text{a}$ друг от друга. По условию, один заряд в 4 раза больше другого, то есть $|q_2| = 4|q_1|$. Поскольку заряды разноименные, пусть $q_1 = q$, а $q_2 = -4q$.

Расположим заряды на оси $Ox$. Пусть заряд $q_1$ находится в точке $x=0$, а заряд $q_2$ — в точке $x=a$.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой $E = k \frac{|q|}{r^2}$. Напряженность — векторная величина. Результирующая напряженность в любой точке пространства является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$. Напряженность будет равна нулю, если векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ равны по модулю и противоположны по направлению ($|\vec{E_1}| = |\vec{E_2}|$ и $\vec{E_1} = -\vec{E_2}$).

Рассмотрим три возможных области на оси $Ox$, где может находиться искомая точка:

1. Между зарядами ($0 < x < a$). В этой области вектор напряженности $\vec{E_1}$ (от положительного заряда $q_1$) направлен вправо, и вектор $\vec{E_2}$ (к отрицательному заряду $q_2$) также направлен вправо. Так как векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.

2. Справа от заряда $q_2$ ($x > a$). В этой области вектор $\vec{E_1}$ направлен вправо, а вектор $\vec{E_2}$ — влево. Они противоположно направлены, но $|q_2| > |q_1|$, и точка находится ближе к заряду $q_2$. Следовательно, напряженность поля от заряда $q_2$ всегда будет больше по модулю, чем от $q_1$ ($|\vec{E_2}| > |\vec{E_1}|$). Равенство модулей невозможно.

3. Слева от заряда $q_1$ ($x < 0$). В этой области вектор $\vec{E_1}$ направлен влево, а вектор $\vec{E_2}$ — вправо. Векторы противоположно направлены, и точка находится ближе к меньшему по модулю заряду $q_1$. В этом случае равенство модулей напряженностей возможно.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $\text{x}$ слева от заряда $q_1$. Тогда расстояние от этой точки до заряда $q_1$ равно $\text{x}$, а до заряда $q_2$ равно $a+x$.

Приравняем модули напряженностей:

$E_1 = E_2$

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(a+x)^2}$

Подставим значения зарядов $|q_1| = q$ и $|q_2| = 4q$:

$\frac{q}{x^2} = \frac{4q}{(a+x)^2}$

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(a+x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a+x}$

$a+x = 2x$

$x = a$

Таким образом, точка, в которой напряженность поля равна нулю, находится на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии $\text{a}$ от меньшего по модулю заряда в сторону, противоположную большему заряду.

Ответ: Напряженность поля равна нулю в точке, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии $\text{a}$ от меньшего по модулю заряда и на расстоянии $2a$ от большего по модулю заряда, вне отрезка между ними.

2. Расстояние между зарядами $6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл и $-6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл равно 12 см. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 8 см от каждого из зарядов.

Дано

$q_1 = 6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_2 = -6,4 \cdot 10^{-6}$ Кл
$d = 12$ см
$r = 8$ см
$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$d = 0,12$ м
$r = 0,08$ м

Найти:

$\text{E}$ - напряженность поля в указанной точке.

Решение

Заряды $q_1$, $q_2$ и точка $\text{P}$, в которой нужно найти напряженность, образуют равнобедренный треугольник. Основание треугольника — расстояние между зарядами $d=0,12$ м, а боковые стороны — расстояния от зарядов до точки $\text{P}$, равные $r=0,08$ м.

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\vec{E}$ в точке $\text{P}$ равна векторной сумме напряженностей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ соответственно: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Модули напряженностей $E_1$ и $E_2$ равны, так как модули зарядов и расстояния до точки $\text{P}$ одинаковы:

$E_1 = E_2 = k \frac{|q_1|}{r^2} = (9 \cdot 10^9) \frac{6,4 \cdot 10^{-6}}{(0,08)^2} = (9 \cdot 10^9) \frac{6,4 \cdot 10^{-6}}{0,0064} = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 10^6$ Н/Кл.

Вектор $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$ вдоль прямой, соединяющей $q_1$ и $\text{P}$. Вектор $\vec{E_2}$ направлен к отрицательному заряду $q_2$ вдоль прямой, соединяющей $\text{P}$ и $q_2$.

Для нахождения векторной суммы воспользуемся методом проекций. Разместим начало координат в середине отрезка, соединяющего заряды. Ось $Ox$ направим вдоль этого отрезка, ось $Oy$ — перпендикулярно ему.

Координаты зарядов: $q_1$ в $(-d/2, 0)$, $q_2$ в $(d/2, 0)$.
Координаты точки $\text{P}$: $(0, h)$, где $h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2}$.

Проекции векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ на оси:

$E_{1y}$ и $E_{2y}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю. При сложении они компенсируют друг друга.

$E_{1x}$ и $E_{2x}$ направлены в одну сторону (вдоль оси $Ox$). Результирующая напряженность будет равна их сумме и направлена параллельно прямой, соединяющей заряды.

$E = E_{1x} + E_{2x} = 2 E_{1x}$

$E_{1x} = E_1 \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором $\vec{E_1}$ и осью $Ox$. Из геометрии треугольника $\cos\alpha = \frac{d/2}{r}$.

Тогда $E = 2 \cdot E_1 \cdot \frac{d/2}{r} = E_1 \frac{d}{r}$.

Подставим числовые значения:

$E = (9 \cdot 10^6 \frac{Н}{Кл}) \cdot \frac{0,12 м}{0,08 м} = 9 \cdot 10^6 \cdot 1,5 = 13,5 \cdot 10^6$ Н/Кл.

Ответ: Напряженность поля в указанной точке равна $1,35 \cdot 10^7$ Н/Кл (или В/м).