Вариант 5, страница 82 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-25. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Самостоятельные работы - страница 82.

Условие.

Вариант 5

1. Два одинаковых заряженных шарика, имеющих заряды соответственно 5 мкКл и 25 мкКл, приводят в соприкосновение и вновь разводят на прежнее расстояние. Во сколько раз изменилась сила их взаимодействия?

2. Два закрепленных заряда $q_1 = 1,1 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2 = 4,4 \cdot 10^{-9}$ Кл находятся на расстоянии 12 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии?

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 5$ мкКл

$q_2 = 25$ мкКл

Перевод в СИ:

$q_1 = 5 \cdot 10^{-6}$ Кл

$q_2 = 25 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$\frac{F_2}{F_1}$ - ?

Решение:

Сила взаимодействия двух заряженных шариков до соприкосновения определяется законом Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $\text{k}$ - коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ - заряды шариков, $\text{r}$ - расстояние между ними.

Подставим начальные значения зарядов:

$F_1 = k \frac{|(5 \cdot 10^{-6}) \cdot (25 \cdot 10^{-6})|}{r^2} = k \frac{125 \cdot 10^{-12}}{r^2}$

После соприкосновения одинаковых шариков их суммарный заряд перераспределяется поровну. Найдем общий заряд:

$Q = q_1 + q_2 = 5 \text{ мкКл} + 25 \text{ мкКл} = 30 \text{ мкКл}$

Заряд каждого шарика после соприкосновения станет:

$q' = q'_1 = q'_2 = \frac{Q}{2} = \frac{30 \text{ мкКл}}{2} = 15 \text{ мкКл} = 15 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

После того как шарики развели на прежнее расстояние $\text{r}$, сила их взаимодействия стала:

$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2}$

Подставим новое значение заряда:

$F_2 = k \frac{(15 \cdot 10^{-6})^2}{r^2} = k \frac{225 \cdot 10^{-12}}{r^2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась сила взаимодействия, найдем отношение силы после соприкосновения ($F_2$) к силе до соприкосновения ($F_1$):

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{(q')^2}{r^2}}{k \frac{q_1 q_2}{r^2}} = \frac{(q')^2}{q_1 q_2} = \frac{(15 \cdot 10^{-6})^2}{(5 \cdot 10^{-6}) \cdot (25 \cdot 10^{-6})} = \frac{225 \cdot 10^{-12}}{125 \cdot 10^{-12}} = \frac{225}{125} = 1,8$

Сила взаимодействия увеличилась в 1,8 раза.

Ответ: Сила взаимодействия увеличилась в 1,8 раза.

2. Дано:

$q_1 = 1,1 \cdot 10^{-9}$ Кл

$q_2 = 4,4 \cdot 10^{-9}$ Кл

$r = 12$ см

Перевод в СИ:

$r = 0,12$ м

Найти:

$\text{x}$ - положение третьего заряда для равновесия.

Решение:

Пусть третий заряд $q_3$ помещен на линии, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные (оба положительные), третий заряд $q_3$ будет находиться в равновесии только в том случае, если он расположен между ними. В этом случае силы, действующие на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, будут направлены в противоположные стороны. Знак заряда $q_3$ не влияет на положение точки равновесия, так как он войдет множителем в обе силы и сократится.

Обозначим расстояние от заряда $q_1$ до заряда $q_3$ как $\text{x}$. Тогда расстояние от заряда $q_2$ до $q_3$ будет равно $(r - x)$.

Условие равновесия заряда $q_3$ — равенство модулей сил, действующих на него со стороны $q_1$ и $q_2$:

$F_{13} = F_{23}$

По закону Кулона:

$k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(r - x)^2}$

Сократим общие множители $\text{k}$ и $|q_3|$:

$\frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(r - x)^2}$

Подставим известные значения зарядов:

$\frac{1,1 \cdot 10^{-9}}{x^2} = \frac{4,4 \cdot 10^{-9}}{(r - x)^2}$

Разделим обе части на $1,1 \cdot 10^{-9}$:

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(r - x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку $\text{x}$ и $r-x$ являются расстояниями, они положительны):

$\frac{1}{x} = \frac{2}{r - x}$

Решим это уравнение относительно $\text{x}$:

$r - x = 2x$

$3x = r$

$x = \frac{r}{3}$

Подставим значение $r = 12$ см:

$x = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии 4 см от заряда $q_1$ в сторону заряда $q_2$.

Ответ: Третий заряд надо поместить на линии, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, на расстоянии 4 см от заряда $q_1$.