Вариант 1, страница 83 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-26. Напряженность электростатического поля. Самостоятельные работы - страница 83.

Условие.

СР-26. Напряженность электростатического поля

Вариант 1

1. Два точечных заряда 2 $\text{мкКл}$ и 1 $\text{мкКл}$ расположены на расстоянии 2 $\text{м}$ друг от друга. Чему равна величина напряженности электростатического поля в середине отрезка, соединяющего ряды?

2. Одноименные заряды по 0,1 $\text{мкКл}$ каждый находятся на расстоянии 6 $\text{см}$ друг от друга. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 5 $\text{см}$ от каждого из зарядов.

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 2 \text{ мкКл}$

$q_2 = 1 \text{ мкКл}$

$R = 2 \text{ м}$

Перевод в СИ:

$q_1 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$E - ?$

Решение:

Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$, определяется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Точка, в которой нужно найти напряженность, находится посередине отрезка, соединяющего заряды. Расстояние от каждого заряда до этой точки одинаково и равно $r = R/2 = 2/2 = 1 \text{ м}$.

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\vec{E}$ в данной точке равна векторной сумме напряженностей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Оба заряда $q_1$ и $q_2$ положительные, поэтому векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от зарядов. В точке, находящейся между ними, эти векторы направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей заряды. Вектор $\vec{E_1}$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E_2}$ — от заряда $q_2$.

Величина результирующей напряженности будет равна разности величин напряженностей, создаваемых каждым зарядом, так как векторы направлены противоположно:

$E = |E_1 - E_2|$

Найдем величины $E_1$ и $E_2$:

$E_1 = k \frac{q_1}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{1^2} = 18 \cdot 10^3 \text{ Н/Кл}$

$E_2 = k \frac{q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{1 \cdot 10^{-6}}{1^2} = 9 \cdot 10^3 \text{ Н/Кл}$

Так как $E_1 > E_2$, результирующий вектор напряженности будет направлен в сторону меньшего заряда $q_2$. Его величина равна:

$E = E_1 - E_2 = 18 \cdot 10^3 - 9 \cdot 10^3 = 9 \cdot 10^3 \text{ Н/Кл}$.

Ответ: $9000 \text{ Н/Кл}$.

2. Дано:

$q_1 = q_2 = q = 0,1 \text{ мкКл}$

$d = 6 \text{ см}$

$r_1 = r_2 = r = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$q = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-7} \text{ Кл}$

$d = 0,06 \text{ м}$

$r = 0,05 \text{ м}$

Найти:

$E_{общ} - ?$

Решение:

Заряды $q_1$, $q_2$ и точка, в которой ищется напряженность, образуют равнобедренный треугольник с основанием $d = 0.06 \text{ м}$ и боковыми сторонами $r = 0.05 \text{ м}$.

Напряженность поля от каждого заряда в этой точке имеет одинаковую величину:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{q}{r^2}$

$E = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0,05)^2} = \frac{9 \cdot 10^2}{0,0025} = \frac{900}{25 \cdot 10^{-4}} = 36 \cdot 10^4 \text{ Н/Кл} = 3,6 \cdot 10^5 \text{ Н/Кл}$.

Результирующая напряженность $\vec{E}_{общ}$ является векторной суммой напряженностей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$. Так как заряды одноименные (положительные), векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от соответствующих зарядов.

Для нахождения суммы векторов воспользуемся методом проекций. Расположим заряды на оси $\text{x}$ симметрично относительно начала координат. Тогда их координаты будут $(-0,03; 0)$ и $(0,03; 0)$. Точка, в которой ищется напряженность, будет лежать на оси $\text{y}$. Ее координату найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой $r=0.05 \text{ м}$ и катетом $d/2 = 0.03 \text{ м}$. Высота треугольника $\text{h}$ (координата $\text{y}$ точки) равна:

$h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{(0.05)^2 - (0.03)^2} = \sqrt{0.0025 - 0.0009} = \sqrt{0.0016} = 0.04 \text{ м}$.

Проекции векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ на ось $\text{x}$ равны по величине и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Проекции на ось $\text{y}$ равны и сонаправлены. Результирующий вектор будет направлен вдоль оси $\text{y}$.

Найдем проекцию одного из векторов на ось $\text{y}$. Она равна $E_y = E \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между вектором напряженности и осью $\text{y}$. Из геометрии треугольника $\cos(\alpha) = \frac{h}{r}$.

$\cos(\alpha) = \frac{0.04 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Суммарная напряженность равна сумме проекций на ось $\text{y}$:

$E_{общ} = E_{1y} + E_{2y} = E \cos(\alpha) + E \cos(\alpha) = 2 E \cos(\alpha)$

$E_{общ} = 2 \cdot (3,6 \cdot 10^5 \text{ Н/Кл}) \cdot 0.8 = 5,76 \cdot 10^5 \text{ Н/Кл}$.

Ответ: $5,76 \cdot 10^5 \text{ Н/Кл}$.