Вариант 4, страница 83 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-26. Напряженность электростатического поля - страница 83.

Условие.

Вариант 4

1. Два заряда, один из которых в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии $\text{a}$ друг от друга. В какой точке пространства напряженность поля равна нулю, если заряды одноименные?

2. Расстояние между двумя точечными зарядами $q_1 = 8 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2 = -6 \cdot 10^{-9}$ Кл равно 5 см. Какова напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии 4 см от заряда $q_1$ и 3 см от заряда $q_2$?

Решение.

1. Пусть меньший заряд равен $q_1$, а больший, соответственно, $q_2 = 4q_1$. Расстояние между ними равно $\text{a}$. Поскольку заряды одноименные (оба положительные или оба отрицательные), векторы напряженности электрического поля, создаваемые каждым из зарядов, будут направлены в противоположные стороны только на отрезке, соединяющем эти заряды. В любой другой точке пространства их поля будут иметь составляющие, направленные в одну сторону, и их сумма не может быть равна нулю.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $\text{x}$ от заряда $q_1$. Тогда расстояние от этой точки до заряда $q_2$ будет равно $(a - x)$.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность результирующего поля в данной точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом. Условие равенства напряженности нулю означает, что напряженности полей от обоих зарядов в этой точке равны по модулю и противоположны по направлению.

Запишем равенство модулей напряженностей:

$E_1 = E_2$

Используя формулу напряженности поля точечного заряда $E = k \frac{|q|}{r^2}$, получаем:

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(a-x)^2}$

Подставим $|q_2| = 4|q_1|$ и сократим одинаковые множители ($\text{k}$ и $|q_1|$):

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(a-x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a-x}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{x}$:

$a - x = 2x$

$a = 3x$

$x = \frac{a}{3}$

Таким образом, точка, в которой напряженность поля равна нулю, находится на линии, соединяющей заряды, на расстоянии $a/3$ от меньшего заряда.

Ответ: Напряженность поля равна нулю в точке, расположенной на отрезке, соединяющем заряды, на расстоянии $a/3$ от меньшего заряда.

2. Дано:

$q_1 = 8 \cdot 10^{-9}$ Кл
$q_2 = -6 \cdot 10^{-9}$ Кл
$R = 5$ см
$r_1 = 4$ см
$r_2 = 3$ см
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

$R = 0.05$ м
$r_1 = 0.04$ м
$r_2 = 0.03$ м

Найти:

$\text{E}$ - ?

Решение:

Результирующая напряженность электрического поля в точке находится по принципу суперпозиции как векторная сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Заметим, что заданные расстояния образуют египетский треугольник, так как $r_1^2 + r_2^2 = (4 \text{ см})^2 + (3 \text{ см})^2 = 16 + 9 = 25 \text{ см}^2$, а $R^2 = (5 \text{ см})^2 = 25 \text{ см}^2$. Следовательно, $r_1^2 + r_2^2 = R^2$. Это означает, что точка, в которой мы ищем напряженность, и точки расположения зарядов $q_1$ и $q_2$ образуют прямоугольный треугольник, где прямой угол находится в искомой точке.

Найдем модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{8 \cdot 10^{-9}}{(0.04)^2} = \frac{72}{0.0016} = 45000 \frac{Н}{Кл} = 4.5 \cdot 10^4 \frac{Н}{Кл}$

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|-6 \cdot 10^{-9}|}{(0.03)^2} = \frac{54}{0.0009} = 60000 \frac{Н}{Кл} = 6 \cdot 10^4 \frac{Н}{Кл}$

Вектор $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$. Вектор $\vec{E_2}$ направлен к отрицательному заряду $q_2$. Так как эти векторы лежат на катетах прямоугольного треугольника, они взаимно перпендикулярны.

Модуль результирующей напряженности $\vec{E}$ найдем по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(4.5 \cdot 10^4)^2 + (6 \cdot 10^4)^2} = \sqrt{20.25 \cdot 10^8 + 36 \cdot 10^8} = \sqrt{56.25 \cdot 10^8} = 7.5 \cdot 10^4 \frac{Н}{Кл}$

Ответ: $E = 7.5 \cdot 10^4$ Н/Кл.