Вариант 3, страница 82 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-25. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Самостоятельные работы - страница 82.

Условие.

Вариант 3

1. Два точечных заряда притягиваются с силой 4 мН, когда расстояние между ними равно 30 см. После того как их на короткое время привели в соприкосновение и вновь поместили на прежнее расстояние, сила электрического взаимодействия стала равной 2,25 мН. Определите заряды шариков до их соприкосновения.

2. Заряды 40 нКл и –10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Где надо поместить заряд, равный 40 нКл, чтобы система находилась в равновесии?

Решение.

1. Дано:

Сила притяжения до соприкосновения, $F_1 = 4$ мН
Сила взаимодействия после соприкосновения, $F_2 = 2,25$ мН
Расстояние между зарядами, $r = 30$ см
Электрическая постоянная, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:
$F_1 = 4 \cdot 10^{-3}$ Н
$F_2 = 2.25 \cdot 10^{-3}$ Н
$r = 0.3$ м

Найти:

Начальные заряды шариков $q_1$ и $q_2$.

Решение:

1. Запишем закон Кулона для взаимодействия зарядов до соприкосновения. Так как заряды притягиваются, они имеют противоположные знаки, и их произведение $q_1 q_2$ отрицательно.
$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = -k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
Выразим произведение зарядов:
$q_1 q_2 = -\frac{F_1 r^2}{k} = -\frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot (0.3)^2}{9 \cdot 10^9} = -\frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot 0.09}{9 \cdot 10^9} = -4 \cdot 10^{-14} \text{ Кл²}$

2. После соприкосновения (предполагая, что шарики одинаковые) их суммарный заряд $q_1 + q_2$ распределяется поровну. Заряд каждого шарика становится равным:
$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

3. Сила взаимодействия после соприкосновения на том же расстоянии $\text{r}$ равна:
$F_2 = k \frac{q' \cdot q'}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$
Из этого уравнения найдем модуль суммы зарядов:
$(q_1 + q_2)^2 = \frac{4 F_2 r^2}{k} = \frac{4 \cdot 2.25 \cdot 10^{-3} \cdot (0.3)^2}{9 \cdot 10^9} = \frac{9 \cdot 10^{-3} \cdot 0.09}{9 \cdot 10^9} = 9 \cdot 10^{-14} \text{ Кл²}$
$|q_1 + q_2| = \sqrt{9 \cdot 10^{-14} \text{ Кл²}} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

4. Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} q_1 q_2 = -4 \cdot 10^{-14} \\ q_1 + q_2 = \pm 3 \cdot 10^{-7} \end{cases}$
Решим эту систему, используя теорему Виета. Заряды $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (q_1+q_2)x + q_1q_2 = 0$.
Рассмотрим случай, когда $q_1 + q_2 = 3 \cdot 10^{-7}$ Кл:
$x^2 - (3 \cdot 10^{-7})x - 4 \cdot 10^{-14} = 0$
Дискриминант $D = (3 \cdot 10^{-7})^2 - 4(1)(-4 \cdot 10^{-14}) = 9 \cdot 10^{-14} + 16 \cdot 10^{-14} = 25 \cdot 10^{-14}$.
$\sqrt{D} = 5 \cdot 10^{-7}$.
Корни уравнения:
$q_1 = \frac{3 \cdot 10^{-7} + 5 \cdot 10^{-7}}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{2} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 400 \text{ нКл}$
$q_2 = \frac{3 \cdot 10^{-7} - 5 \cdot 10^{-7}}{2} = \frac{-2 \cdot 10^{-7}}{2} = -1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = -100 \text{ нКл}$
(Случай $q_1 + q_2 = -3 \cdot 10^{-7}$ Кл даст те же значения зарядов, но с противоположными знаками, что эквивалентно смене их нумерации).

Ответ: Заряды шариков до их соприкосновения были равны 400 нКл и -100 нКл.

2. Дано:

Заряд 1, $q_1 = 40$ нКл
Заряд 2, $q_2 = -10$ нКл
Заряд 3, $q_3 = 40$ нКл
Расстояние между $q_1$ и $q_2$, $L = 10$ см

Перевод в систему СИ:
$q_1 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл
$q_2 = -10 \cdot 10^{-9}$ Кл
$q_3 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл
$L = 0.1$ м

Найти:

Положение заряда $q_3$, при котором система будет находиться в равновесии.

Решение:

Для того чтобы система находилась в равновесии, равнодействующая сил, действующих на каждый из трех зарядов, должна быть равна нулю.
Расположим заряды на оси Ох. Пусть заряд $q_1$ находится в начале координат ($x_1=0$), а заряд $q_2$ — в точке $x_2=L$.
Заряды $q_1$ и $q_3$ имеют одинаковый знак (положительный), поэтому они отталкиваются. Заряды $q_2$ и $q_3$ имеют разные знаки, поэтому они притягиваются.
Чтобы силы, действующие на заряд $q_3$, уравновесились, они должны быть направлены в противоположные стороны. Это возможно только в том случае, если заряд $q_3$ находится на прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, но не между ними. Кроме того, для равновесия заряд $q_3$ должен находиться ближе к заряду с меньшим модулем, то есть к $q_2$.
Пусть заряд $q_3$ находится на расстоянии $\text{x}$ от заряда $q_2$ на продолжении линии, соединяющей заряды. Тогда расстояние от $q_1$ до $q_3$ будет равно $L+x$.

Запишем условие равновесия для заряда $q_3$: сила отталкивания от $q_1$ ($F_{13}$) должна быть равна по модулю силе притяжения к $q_2$ ($F_{23}$):
$F_{13} = F_{23}$
$k \frac{|q_1 q_3|}{(L+x)^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{x^2}$
Сократив $\text{k}$ и $|q_3|$, получим:
$\frac{|q_1|}{(L+x)^2} = \frac{|q_2|}{x^2}$
$\frac{40 \cdot 10^{-9}}{(L+x)^2} = \frac{10 \cdot 10^{-9}}{x^2}$
$\frac{4}{(L+x)^2} = \frac{1}{x^2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку $\text{L}$ и $\text{x}$ — расстояния, они положительны):
$\frac{2}{L+x} = \frac{1}{x}$
$2x = L+x$
$x = L = 10$ см.

Таким образом, заряд $q_3$ нужно поместить на расстоянии 10 см от заряда $q_2$ в сторону, противоположную $q_1$. Это соответствует расстоянию $L+x = 10+10 = 20$ см от заряда $q_1$.

Проверим, будет ли вся система в равновесии, проверив равновесие остальных зарядов.
1. Равновесие $q_1$: Сила притяжения $F_{21}$ от $q_2$ равна силе отталкивания $F_{31}$ от $q_3$: $k \frac{|q_1 q_2|}{L^2} = k \frac{|q_1 q_3|}{(2L)^2} \implies \frac{10}{L^2} = \frac{40}{4L^2}$, что верно.
2. Равновесие $q_2$: Сила притяжения $F_{12}$ от $q_1$ равна силе притяжения $F_{32}$ от $q_3$: $k \frac{|q_1 q_2|}{L^2} = k \frac{|q_3 q_2|}{x^2} \implies \frac{40}{L^2} = \frac{40}{L^2}$ (так как $x=L$), что верно.
Система находится в равновесии.

Ответ: Заряд, равный 40 нКл, надо поместить на прямой, соединяющей два других заряда, на расстоянии 10 см от заряда -10 нКл (и 20 см от заряда 40 нКл) в сторону, противоположную заряду 40 нКл.