Вариант 4, страница 82 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-25. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Самостоятельные работы - страница 82.

Условие.

Вариант 4

1. Два одинаковых точечных заряда находятся на расстоянии 60 см. Их заряды равны $4 \cdot 10^{-7}$ Кл и $0,8 \cdot 10^{-7}$ Кл. Шарики приводят в соприкосновение, а затем удаляют на прежнее расстояние. Определите силу их взаимодействия после соприкосновения.

2. В вершинах квадрата со стороной $\text{a}$ помещены заряды по $10^{-6}$ Кл. Какой отрицательный заряд нужно поместить в точке пересечения диагоналей, чтобы вся система находилась в равновесии?

Решение.

1. Дано:

$q_1 = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл
$q_2 = 0.8 \cdot 10^{-7}$ Кл
$r = 60$ см

В системе СИ:
$r = 0.6$ м

Найти:

$F' - ?$

Решение:

При соприкосновении двух одинаковых проводящих шариков их суммарный заряд перераспределяется между ними поровну. Согласно закону сохранения заряда, суммарный заряд до и после соприкосновения одинаков:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} + 0.8 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 4.8 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

После соприкосновения заряд каждого шарика станет равен:

$q' = q'_1 = q'_2 = \frac{Q_{общ}}{2} = \frac{4.8 \cdot 10^{-7}}{2} = 2.4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

После того как шарики развели на прежнее расстояние $\text{r}$, сила их взаимодействия (сила Кулона) определяется по формуле:

$F' = k \frac{|q'_1 \cdot q'_2|}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2}$

где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности, равный $9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Подставим числовые значения:

$F' = 9 \cdot 10^9 \frac{(2.4 \cdot 10^{-7})^2}{(0.6)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{5.76 \cdot 10^{-14}}{0.36} = \frac{51.84 \cdot 10^{-5}}{0.36} = 144 \cdot 10^{-5} \text{ Н} = 1.44 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: сила взаимодействия после соприкосновения равна $1.44 \cdot 10^{-3}$ Н (или 1.44 мН).

2. Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q = 10^{-6}$ Кл
Сторона квадрата - $\text{a}$.

Найти:

$Q - ?$

Решение:

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, равнодействующая всех сил, действующих на каждый заряд системы, должна быть равна нулю. В силу симметрии системы достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов, расположенных в вершине квадрата. Пусть это будет заряд $q_1$.

На заряд $q_1$ действуют силы со стороны трех других зарядов в вершинах ($q_2, q_3, q_4$) и со стороны центрального заряда $\text{Q}$.

Обозначим силы, действующие на $q_1$ со стороны $q_2, q_3, q_4$ как $F_{12}, F_{13}, F_{14}$. Все эти заряды положительны, поэтому силы являются силами отталкивания.

1. Силы от соседних зарядов $q_2$ и $q_4$, находящихся на расстоянии $\text{a}$:

$F_{12} = F_{14} = k \frac{q^2}{a^2}$

Эти силы направлены вдоль сторон квадрата и перпендикулярны друг другу.

2. Сила от диагонально противоположного заряда $q_3$, находящегося на расстоянии $a\sqrt{2}$:

$F_{13} = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$

Эта сила направлена вдоль диагонали от заряда $q_3$ к $q_1$.

Результирующая сила отталкивания от трех зарядов в вершинах $F_{отт}$ будет направлена вдоль диагонали. Для ее нахождения сложим проекции всех сил на эту диагональ:

$F_{отт} = F_{13} + F_{12} \cos(45^\circ) + F_{14} \cos(45^\circ) = k \frac{q^2}{2a^2} + k \frac{q^2}{a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} + k \frac{q^2}{a^2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$F_{отт} = k \frac{q^2}{a^2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2}) = k \frac{q^2}{a^2} \frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

Чтобы уравновесить эту силу отталкивания, сила притяжения $F_Q$ со стороны центрального заряда $\text{Q}$ должна быть равна ей по модулю и противоположна по направлению. Это означает, что заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным.

Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Сила взаимодействия между зарядом $q_1$ и центральным зарядом $\text{Q}$:

$F_Q = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a\sqrt{2}/2)^2} = k \frac{|qQ|}{2a^2/4} = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$

Приравняем модули сил $F_{отт}$ и $F_Q$:

$2k \frac{|qQ|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

Сократим общие множители ($k, q, a^2$):

$2|Q| = q \frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

$|Q| = q \frac{1+2\sqrt{2}}{4}$

Подставим значение $q = 10^{-6}$ Кл и $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$|Q| = 10^{-6} \cdot \frac{1+2 \cdot 1.414}{4} = 10^{-6} \cdot \frac{1+2.828}{4} = 10^{-6} \cdot \frac{3.828}{4} \approx 0.957 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Так как заряд должен быть отрицательным, то $Q \approx -0.96 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Ответ: чтобы система находилась в равновесии, нужно поместить отрицательный заряд $Q = -q \frac{1+2\sqrt{2}}{4} \approx -0.96 \cdot 10^{-6}$ Кл.