Вариант 3, страница 83 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-26. Напряженность электростатического поля - страница 83.

Условие.

Вариант 3

1. Между двумя точечными зарядами $ +4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} $ и $ -5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} $ расстояние 60 см. Найдите напряженность в средней точке между зарядами.

2. Разноименные заряды по $ 0,1 \text{ мкКл} $ каждый находятся на расстоянии 6 см друг от друга. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 5 см от каждого из зарядов.

Решение.

1. Между двумя точечными зарядами $+4 \cdot 10^{-9}$ Кл и $-5 \cdot 10^{-9}$ Кл расстояние 60 см. Найдите напряженность в средней точке между зарядами.

Дано:
$q_1 = +4 \cdot 10^{-9}$ Кл
$q_2 = -5 \cdot 10^{-9}$ Кл
$d = 60$ см
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в СИ:
$d = 0.6$ м

Найти:

$\text{E}$ - напряженность в средней точке.

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$, определяется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$.
Средняя точка находится на одинаковом расстоянии от каждого заряда. Это расстояние равно половине расстояния между зарядами:
$r = \frac{d}{2} = \frac{0.6 \text{ м}}{2} = 0.3 \text{ м}$.
Найдем напряженность поля, создаваемую каждым зарядом в этой точке.
Напряженность $E_1$ от заряда $q_1$:
$E_1 = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-9}}{(0.3)^2} = \frac{36}{0.09} = 400$ В/м.
Вектор напряженности $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$.
Напряженность $E_2$ от заряда $q_2$:
$E_2 = k \frac{|q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|-5 \cdot 10^{-9}|}{(0.3)^2} = \frac{45}{0.09} = 500$ В/м.
Вектор напряженности $\vec{E_2}$ направлен к отрицательному заряду $q_2$.
В средней точке между зарядами векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены в одну и ту же сторону (в сторону отрицательного заряда). Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\text{E}$ равна сумме модулей напряженностей $E_1$ и $E_2$:
$E = E_1 + E_2 = 400 \text{ В/м} + 500 \text{ В/м} = 900$ В/м.

Ответ: $900$ В/м.

2. Разноименные заряды по 0,1 мкКл каждый находятся на расстоянии 6 см друг от друга. Найдите напряженность поля в точке, удаленной на 5 см от каждого из зарядов.

Дано:
$|q_1| = |q_2| = q = 0.1$ мкКл
$d = 6$ см
$r = 5$ см
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в СИ:
$q = 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-7}$ Кл
$d = 0.06$ м
$r = 0.05$ м

Найти:

$\text{E}$ - напряженность поля в указанной точке.

Решение:

Пусть заряд $q_1 = +10^{-7}$ Кл, а заряд $q_2 = -10^{-7}$ Кл. Точка, в которой мы ищем напряженность (назовем ее А), образует с зарядами равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника $d = 0.06$ м, а боковые стороны $r = 0.05$ м.
Модуль напряженности поля, создаваемого каждым зарядом в точке А, одинаков:
$E_0 = E_1 = E_2 = k \frac{q}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0.05)^2} = \frac{900}{0.0025} = 360000 \text{ В/м} = 3.6 \cdot 10^5$ В/м.
Результирующая напряженность $\vec{E}$ является векторной суммой напряженностей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.
Вектор $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$ вдоль стороны треугольника, а вектор $\vec{E_2}$ — к отрицательному заряду $q_2$ вдоль другой стороны.
Разложим векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ на составляющие: одну, параллельную основанию треугольника (линии, соединяющей заряды), и другую, перпендикулярную ему.
Перпендикулярные составляющие равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому они взаимно уничтожаются.
Параллельные составляющие направлены в одну сторону (от $q_1$ к $q_2$) и складываются. Результирующее поле $\vec{E}$ направлено параллельно линии, соединяющей заряды.
Найдем угол $\alpha$ при основании равнобедренного треугольника (у каждого из зарядов). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем:
$\cos{\alpha} = \frac{d/2}{r} = \frac{0.03 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = 0.6$.
Этот угол $\alpha$ является углом между вектором напряженности (например, $\vec{E_1}$) и линией, параллельной основанию.
Тогда модуль результирующей напряженности равен сумме проекций:
$E = E_1 \cos{\alpha} + E_2 \cos{\alpha} = 2 E_0 \cos{\alpha}$.
$E = 2 \cdot (3.6 \cdot 10^5 \text{ В/м}) \cdot 0.6 = 4.32 \cdot 10^5$ В/м.

Ответ: $4.32 \cdot 10^5$ В/м.