Вариант 1, страница 84 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-27. Работа сил электростатического поля. Потенциал. Самостоятельные работы - страница 84.

Условие.

СР-27. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Вариант 1

1. Электростатическое поле образовано зарядом $1.7 \times 10^{-8}$ Кл. Рассчитайте, какую работу надо совершить, чтобы заряд $4 \cdot 10^{-9}$ Кл перенести из точки, удаленной от первого заряда на 50 см, в точку, удаленную от этого же заряда на 5 см.

2. Какую скорость может сообщить электрону, находящемуся в состоянии покоя, ускоряющая разность потенциалов в 1000 В? Масса электрона равна $9.1 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд электрона — $1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Решение.

1. Дано:

Заряд, создающий поле, $q_1 = 1.7 \times 10^{-8}$ Кл
Переносимый заряд, $q_2 = 4 \times 10^{-9}$ Кл
Начальное расстояние, $r_1 = 50$ см
Конечное расстояние, $r_2 = 5$ см
Электрическая постоянная, $k = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в СИ:
$r_1 = 0.5$ м
$r_2 = 0.05$ м

Найти:

Работу $\text{A}$.

Решение:

Работа, которую необходимо совершить, чтобы переместить заряд $q_2$ в электростатическом поле, созданном зарядом $q_1$, равна произведению величины переносимого заряда на разность потенциалов между конечной и начальной точками.
$A = q_2(\varphi_2 - \varphi_1)$
Потенциал $\varphi$ электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q_1$ на расстоянии $\text{r}$ от него, определяется по формуле:
$\varphi = k \frac{q_1}{r}$
Следовательно, потенциалы в начальной и конечной точках равны:
$\varphi_1 = k \frac{q_1}{r_1}$
$\varphi_2 = k \frac{q_1}{r_2}$
Подставим выражения для потенциалов в формулу для работы:
$A = q_2 \left( k \frac{q_1}{r_2} - k \frac{q_1}{r_1} \right) = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$
Теперь подставим числовые значения:
$A = 9 \times 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 1.7 \times 10^{-8} Кл \cdot 4 \times 10^{-9} Кл \cdot \left( \frac{1}{0.05 м} - \frac{1}{0.5 м} \right)$
$A = 6.12 \times 10^{-7} Н \cdot м^2 \cdot \left( 20 \frac{1}{м} - 2 \frac{1}{м} \right)$
$A = 6.12 \times 10^{-7} Н \cdot м^2 \cdot 18 \frac{1}{м}$
$A = 110.16 \times 10^{-7} Н \cdot м = 1.1016 \times 10^{-5}$ Дж.
Округляя до двух значащих цифр, получаем:
$A \approx 1.1 \times 10^{-5}$ Дж.

Ответ: необходимо совершить работу $A \approx 1.1 \times 10^{-5}$ Дж.

2. Дано:

Ускоряющая разность потенциалов, $U = 1000$ В
Масса электрона, $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ кг
Заряд электрона по модулю, $|q_e| = e = 1.6 \times 10^{-19}$ Кл
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Найти:

Конечную скорость электрона $\text{v}$.

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершенная электрическим полем над электроном, равна изменению его кинетической энергии.
$A = \Delta K = K - K_0$
Работа электрического поля при перемещении заряда $q_e$ через разность потенциалов $\text{U}$ вычисляется по формуле:
$A = |q_e| U$
Поскольку электрон начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$. Конечная кинетическая энергия равна:
$K = \frac{m_e v^2}{2}$
Приравниваем работу поля и изменение кинетической энергии:
$|q_e| U = \frac{m_e v^2}{2}$
Из этого уравнения выразим конечную скорость $\text{v}$:
$v^2 = \frac{2 |q_e| U}{m_e}$
$v = \sqrt{\frac{2 |q_e| U}{m_e}}$
Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.6 \times 10^{-19} Кл \cdot 1000 В}{9.1 \times 10^{-31} кг}}$
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{0.3516 \times 10^{15}} \frac{м}{с} = \sqrt{35.16 \times 10^{13}} \frac{м}{с}$
Для удобства расчетов представим число под корнем в виде $ \sqrt{3.516 \times 10^{14}} $ м/с.
$v \approx 1.875 \times 10^7$ м/с.
Округлим результат до двух значащих цифр:
$v \approx 1.9 \times 10^7$ м/с.

Ответ: скорость, которую может сообщить электрону ускоряющая разность потенциалов, составляет $v \approx 1.9 \times 10^7$ м/с.