Вариант 2, страница 83 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-26. Напряженность электростатического поля. Самостоятельные работы - страница 83.

Условие.

Вариант 3

1. Между зарядами $+q$ и $+9q$ расстояние 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю?

2. Два заряда $q_1 = 2,7 \cdot 10^{-8}\text{ Кл}$ и $q_2 = -6,4 \cdot 10^{-8}\text{ Кл}$ расположены на концах гипотенузы в точках A и B (рис. 58). Определите напряженность электрического поля в точке C, если $AC = 9\text{ см}$, $CB = 12\text{ см}$, $AB = 15\text{ см}$.

Рис. 58

Решение.

1. Между зарядами +q и +9q расстояние 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю?

Дано:
$q_1 = +q$
$q_2 = +9q$
$R = 8$ см

Перевод в СИ:
$R = 0,08$ м

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от первого заряда до точки, где напряженность поля равна нулю.

Решение:

Пусть искомая точка находится на прямой, соединяющей заряды. Так как оба заряда ($q_1 = +q$ и $q_2 = +9q$) положительны, векторы напряженности полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$, создаваемые ими, будут направлены в противоположные стороны только на отрезке между зарядами. Обозначим расстояние от первого заряда $q_1$ до искомой точки как $\text{x}$. Тогда расстояние от второго заряда $q_2$ до этой точки будет равно $R-x$.

В точке, где результирующая напряженность поля равна нулю, выполняется условие векторного равенства $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} = 0$. Это означает, что модули векторов напряженности равны друг другу: $E_1 = E_2$.

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

Запишем условие равенства модулей для нашей задачи:

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(R-x)^2}$

Подставим значения зарядов $q_1=q$ и $q_2=9q$:

$k \frac{q}{x^2} = k \frac{9q}{(R-x)^2}$

Сократим общие множители $\text{k}$ и $\text{q}$ (при $q \neq 0$):

$\frac{1}{x^2} = \frac{9}{(R-x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $\text{x}$ и $R-x$ являются расстояниями, они должны быть положительными, поэтому рассматриваем только положительные значения корней:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{R-x}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{x}$:

$R - x = 3x$

$R = 4x$

$x = \frac{R}{4}$

Подставим числовое значение $R = 8$ см:

$x = \frac{8 \text{ см}}{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

2. Два заряда $q_1 = 2,7 \cdot 10^{-8}$ Кл и $q_2 = -6,4 \cdot 10^{-8}$ Кл расположены на концах гипотенузы в точках А и В (рис. 58). Определите напряженность электрического поля в точке С, если АС = 9 см, СВ = 12 см, АВ = 15 см.

Дано:
$q_1 = 2,7 \cdot 10^{-8}$ Кл
$q_2 = -6,4 \cdot 10^{-8}$ Кл
$AC = 9$ см
$CB = 12$ см
$AB = 15$ см
$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Перевод в СИ:
$AC = 0,09$ м
$CB = 0,12$ м
$AB = 0,15$ м

Найти:

$E_C$ — напряженность поля в точке С.

Решение:

Напряженность электрического поля в точке С определяется по принципу суперпозиции полей как векторная сумма напряженностей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E_C} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным, используя теорему Пифагора: $AC^2 + CB^2 = (9 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2 = 81 + 144 = 225 \text{ см}^2$. Квадрат гипотенузы $AB^2 = (15 \text{ см})^2 = 225 \text{ см}^2$. Так как $AC^2 + CB^2 = AB^2$, треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Найдем модуль напряженности поля $\vec{E_1}$, создаваемого зарядом $q_1$ в точке C. Вектор $\vec{E_1}$ направлен вдоль прямой AC от заряда $q_1$, так как $q_1 > 0$.

$E_1 = k \frac{|q_1|}{AC^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{2,7 \cdot 10^{-8}}{(0,09)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{2,7 \cdot 10^{-8}}{8,1 \cdot 10^{-3}} = 3 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$.

Найдем модуль напряженности поля $\vec{E_2}$, создаваемого зарядом $q_2$ в точке C. Вектор $\vec{E_2}$ направлен вдоль прямой CB к заряду $q_2$, так как $q_2 < 0$.

$E_2 = k \frac{|q_2|}{CB^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|-6,4 \cdot 10^{-8}|}{(0,12)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{6,4 \cdot 10^{-8}}{1,44 \cdot 10^{-2}} = 4 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$.

Так как угол при вершине C прямой, векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ взаимно перпендикулярны. Модуль результирующего вектора напряженности $E_C$ найдем по теореме Пифагора:

$E_C = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(3 \cdot 10^4)^2 + (4 \cdot 10^4)^2} = \sqrt{9 \cdot 10^8 + 16 \cdot 10^8} = \sqrt{25 \cdot 10^8} = 5 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$.

Ответ: $5 \cdot 10^4$ Н/Кл.