Вариант 1, страница 81 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-25. Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Самостоятельные работы - страница 81.

Условие.

СР-25. Закон сохранения заряда. Закон Кулона

Вариант 1

1. Два одинаковых металлических шарика с зарядами 1 мкКл и 3 мкКл привели в соприкосновение и развели на расстояние, вдвое большее первоначального. Найдите отношение первоначальной силы кулоновского взаимодействия шариков к конечной.

2. Величину каждого из двух одинаковых точечных зарядов уменьшили в 2 раза, а расстояние между ними уменьшили в 4 раза. Найдите отношение конечной силы их взаимодействия к начальной.

Решение.

1. Два одинаковых металлических шарика с зарядами 1 мкКл и 3 мкКл привели в соприкосновение и развели на расстояние, вдвое большее первоначального. Найдите отношение первоначальной силы кулоновского взаимодействия шариков к конечной.

Дано:

$q_1 = 1 \text{ мкКл} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_2 = 3 \text{ мкКл} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$r_1$ - первоначальное расстояние
$r_2 = 2r_1$ - конечное расстояние

Найти:

$\frac{F_1}{F_2}$

Решение:

Сила кулоновского взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

1. Первоначальная сила взаимодействия шариков на расстоянии $r_1$:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

2. После соприкосновения двух одинаковых металлических шариков их суммарный заряд перераспределяется между ними поровну в соответствии с законом сохранения заряда. Найдем заряд каждого шарика после соприкосновения:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{1 \text{ мкКл} + 3 \text{ мкКл}}{2} = \frac{4 \text{ мкКл}}{2} = 2 \text{ мкКл}$

Теперь заряды шариков стали одинаковыми: $q'_1 = q'_2 = q' = 2 \text{ мкКл}$.

3. Шарики развели на расстояние $r_2 = 2r_1$. Конечная сила взаимодействия:

$F_2 = k \frac{|q'_1 q'_2|}{r_2^2} = k \frac{|q' \cdot q'|}{(2r_1)^2} = k \frac{(q')^2}{4r_1^2}$

4. Найдем отношение первоначальной силы к конечной:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}}{k \frac{(q')^2}{4r_1^2}} = \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} \cdot \frac{4r_1^2}{(q')^2} = \frac{4|q_1 q_2|}{(q')^2}$

Подставим числовые значения зарядов:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{4 \cdot |1 \text{ мкКл} \cdot 3 \text{ мкКл}|}{(2 \text{ мкКл})^2} = \frac{4 \cdot 3 \text{ мкКл}^2}{4 \text{ мкКл}^2} = 3$

Ответ: 3.

2. Величину каждого из двух одинаковых точечных зарядов уменьшили в 2 раза, а расстояние между ними уменьшили в 4 раза. Найдите отношение конечной силы их взаимодействия к начальной.

Дано:

$q_{\text{нач}}$ - начальная величина каждого заряда
$r_{\text{нач}}$ - начальное расстояние
$q_{\text{кон}} = \frac{q_{\text{нач}}}{2}$ - конечная величина каждого заряда
$r_{\text{кон}} = \frac{r_{\text{нач}}}{4}$ - конечное расстояние

Найти:

$\frac{F_{\text{кон}}}{F_{\text{нач}}}$

Решение:

Запишем формулу для начальной силы взаимодействия $F_{\text{нач}}$ между двумя одинаковыми зарядами $q_{\text{нач}}$ на расстоянии $r_{\text{нач}}$:

$F_{\text{нач}} = k \frac{|q_{\text{нач}} \cdot q_{\text{нач}}|}{r_{\text{нач}}^2} = k \frac{q_{\text{нач}}^2}{r_{\text{нач}}^2}$

Теперь запишем формулу для конечной силы $F_{\text{кон}}$. Величина каждого заряда стала $q_{\text{кон}} = \frac{q_{\text{нач}}}{2}$, а расстояние между ними стало $r_{\text{кон}} = \frac{r_{\text{нач}}}{4}$:

$F_{\text{кон}} = k \frac{|q_{\text{кон}} \cdot q_{\text{кон}}|}{r_{\text{кон}}^2} = k \frac{(\frac{q_{\text{нач}}}{2})^2}{(\frac{r_{\text{нач}}}{4})^2} = k \frac{\frac{q_{\text{нач}}^2}{4}}{\frac{r_{\text{нач}}^2}{16}} = k \frac{q_{\text{нач}}^2}{4} \cdot \frac{16}{r_{\text{нач}}^2} = 4 \cdot \left( k \frac{q_{\text{нач}}^2}{r_{\text{нач}}^2} \right)$

Мы видим, что выражение в скобках равно начальной силе $F_{\text{нач}}$. Следовательно, $F_{\text{кон}} = 4 \cdot F_{\text{нач}}$.

Теперь найдем отношение конечной силы к начальной:

$\frac{F_{\text{кон}}}{F_{\text{нач}}} = \frac{4 \cdot F_{\text{нач}}}{F_{\text{нач}}} = 4$

Ответ: 4.